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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 So 13.05.2007 | | Autor: | Karamalz |
| Aufgabe | | Gegeben sind 3 Punkte in einem 3Dimensionalen kartesischen Koordinatensystem. Ein Kreis geht durch diese 3 Punkte und wird dadurch bestimmt. Gesucht ist der Mittelpunkt des Kreises sowie sein Radius. |
Ich habe aus den 3 Punkten (A (a|0|0) B (0|b|0) und C (0|0|c) ) eine Parameterdarstellung gemacht:
[mm] \vektor{a \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{-a \\ b \\ 0} [/mm] + [mm] t*\vektor{-a \\ 0 \\ c}
[/mm]
Dann das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren gebildet:
[mm] \vektor{-a \\ b \\ 0} \times \vektor{-a \\ 0 \\ c} [/mm] = [mm] \vektor{bc \\ ac \\ ab}
[/mm]
Jetzt war meine Idee den Kreis durch eine Normalendarstellung anzugeben:
[mm] \vec{n} [/mm] * ( [mm] \overrightarrow{EV}*r [/mm] - [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}})
[/mm]
wobei der Einheitsvektor [mm] \overrightarrow{EV} [/mm] einer der Richtungsvektoren aus der Parameterdarstellung ist,also zb. [mm] \vektor{-a \\ b \\ 0} [/mm] und x1, x2, x3 die Koordinaten des Mittelpunktes des Kreises sind.
Wenn ich das ganze ausmultipliziere komme ich auf folgendes:
-bc [mm] x_{1} [/mm] - ac [mm] x_{2} [/mm] - ba [mm] x_{3} [/mm] = 0
Wenn ich das ganze dann mit Zahlenbeispielen ausprobiere, dann funktioniert es nicht. Die Beträge der Vektoren von den 3 Punkten zum Mittelpunkt sind nicht gleich, was sie aber eigentlich seien sollten.
Meine Frage ist nun, ob mir da jemand helfen kann, ich komme nicht drauf wo der Fehler steckt oder ob mein ganzer Ansatz eigentlich brauchbar ist.
Mit freundlichen Grüßen
kara
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 So 13.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin florian,
kann nur ein paar fragen aufwerfen
liegt denn der mittelpunkt auf einer der beiden richtungsvektoren?
müsste ich nicht von den kreispunkten die orthogonalen ziehen
und deren schnittpunkt wäre dann der kreismittelpunkt?
gruß
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Mo 14.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
hallo florian,
so im bett kommen einem doch die besten ideen 
du hast drei punkte, die auf einem kreis liegen.
also liegen diese punkte in einer ebene.
ich kann diese drei punkte auch zu einem dreieck verbinden.
die richtung von zwei strecken hast du ja schon ermittelt.
dieses dreieck hat einen kreis als umkreis. damit kann ich mithilfe der seitenhalbierenden den mittelpunkt bestimmen; der ja der schnittpunkt der seitenhalbierenden ist.
die seitenhalbierenden stehen senkrecht zu den richtungsvektoren der strecken...
also z.b.
betrachten wir einmal die strecke [mm] \overline{AB} [/mm] .
die mitte dieser strecke ist: [mm] \bruch{A + B}{2} [/mm] bzw.
[mm] s_{1}= \bruch{1}{2} [/mm] * ( [mm] \vektor{a \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ b \\ 0})
[/mm]
[mm] s_{1}= \vektor{ \bruch{a}{2} \\ \bruch{b}{2} \\ 0 }
[/mm]
das ist mein aufpunkt für die seitenhalbierende 1.
jetzt fehlt noch der richtungsvektor für die seitenhalbierende.
da die seitenhalbierende senkrecht auf dem richtungsvektor von [mm] \overline{AB} [/mm] steht, gilt:
*****************
[mm] \vektor{-a \\ b \\ 0} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = 0 (skalarprodukt)
I. gleichung
-ax +by =0 =>
x = [mm] \bruch{b}{a}y [/mm]
weitere bedingung: die seitenhalbierende liegt muss in der ebene liegen.
hier kommt dein normalenvektor ins spiel... d.h.
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] * [mm] \vektor{bc \\ ac \\ ab} [/mm] = 0 (skalarprodukt)
II. gleichung
bc*x + ac*y + ab*z = 0 [z frei wählbar]
und dann noch I. in II. einsetzen:
bc* [mm] \bruch{b}{a}*y [/mm] +ac*y +ab*0 =0
[mm] \bruch{b^2c}{a}*y [/mm] + [mm] \bruch{a^2c}{a}*y [/mm] =0
y = [mm] \bruch{a}{b^2c+a^2c}
[/mm]
x = [mm] \bruch{b}{a}* \bruch{a}{b^2c+a^2c}
[/mm]
=> [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{ \bruch{b}{c* (b^2+a^2)} \\ \bruch{a}{c*(b^2+a^2)} \\ 0}
[/mm]
****************
dasselbe machst du für [mm] \overline{AC} [/mm] und setzt die seitenhalbierenden gleich, und erhältst den mittelpunkte des kreises bzw. den schnittpunkt der seitenhalbierenden.
gruß
wolfgang
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