Bestimmung der Schranken < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Seien A und B nach oben beschränkte, nichtleere Mengen positiver reeler Zahlen und sei C := [mm] \{a+b : a\in A und b\in B \}.
[/mm]
Beweisen Sie, dass C nach unten beschränkt ist und infC = infA + infB gilt. |
Mein Ansatz:
A und B [mm] \in [/mm] IR
C := [mm] \{a+b : a\in A und b\in B \} [/mm]
C ist definiert als die Summe der Elemente der Mengen A und B.
Da die Suprema/Infima oft die Grenzwerte der Mengen sind, muss ich versuchen die Grenzwerte zu ermitteln:
[mm] \limes_{a,b\rightarrow\infty}(a+b) [/mm] = [mm] \infty [/mm] daraus folgt supA+B [mm] =\infty
[/mm]
[mm] \limes_{a,b\rightarrow-\infty}(a+b) [/mm] = [mm] -\infty [/mm] daraus folgt infA+B [mm] =-\infty
[/mm]
Leider habe ich keinen Ansatz für einen Beweis, dass C = inf A + inf B ist.
Weil ja C aus den Summen beider Mengen ist,nimmt es deshalb auch das inf der beiden an, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Mo 25.08.2008 | | Autor: | pelzig |
> [...] Da die Suprema/Infima oft die Grenzwerte der Mengen sind,
> muss ich versuchen die Grenzwerte zu ermitteln:
> [mm]\limes_{a,b\rightarrow\infty}(a+b)[/mm] = [mm]\infty[/mm] daraus folgt
> supA+B [mm]=\infty[/mm]
> [mm]\limes_{a,b\rightarrow-\infty}(a+b)[/mm] = [mm]-\infty[/mm] daraus folgt
> infA+B [mm]=-\infty[/mm]
Das ist leider kompletter Murx. Was sollen diese Gleichungne überhaupt bedeuten? Was ist bitte der Grenzwert einer Menge? Die Mengen A und B sind außerdem nach Voraussetzung nach oben und unten beschränk, d.h. besitzen auf jeden Fall Supremum/Infiumum... da geht nix gegen unendlich oder so. Am Besten du vergisst das mal schnell wieder.
> Leider habe ich keinen Ansatz für einen Beweis, dass C = inf A + inf B ist.
> Weil ja C aus den Summen beider Mengen ist,nimmt es
> deshalb auch das inf der beiden an, oder?
Du musst knallhart mit den Definitionen rangehen, anders geht es nicht. Das Infimum ist definiert als größte untere Schranke. Du musst beweisen dass [mm] $\inf [/mm] C$ existiert (das ist eigentlich trivial) und dass gilt [mm] $\inf C=\inf A+\inf [/mm] B$, d.h.
1) [mm] $\inf A+\inf [/mm] B$ ist eine untere Schranke von C, d.h. [mm] $c\in C\Rightarrow c\ge\inf A+\inf [/mm] B$
2) Jede Zahl größer als [mm] $\inf A+\inf [/mm] B$ ist keine untere Schranke von C, was genau heißt das? Hier musst du höchstwahrscheinlich einen Widerspruchsbeweis führen.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Sa 13.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Seien A und B nach oben beschränkte, nichtleere Mengen positiver reeler Zahlen und sei C := $ [mm] \{a+b : a\in A und b\in B \}. [/mm] $
Beweisen Sie, dass C nach unten beschränkt ist und infC = infA + infB gilt. |
Hallo,
bin wieder zurück vom Urlaub, und kann jetzt wieder an den Aufgaben arbeiten.
Ich verstehe die oben aufgeführte Antwort nicht ganz.
Was bitte ist trivial daran zu zeigen, dass C ein inf hat?
Wie soll ich mit dem Widerspruchsbeweis anfangen?
Ich kenne die Definitionen, aber ichg kann diese nie so richtig in den Aufgaben benutzen.
Also hier die Dinge die mir bei der Aufgaben einfallen.
-wenn infA + infB= infC ist, dann müssten doch A und B [mm] \subset [/mm] C sein, oder?
- wenn infA und infB existieren, dann hat doch deren Summe auch ein infimum, also infC.
Meine Idee zum Anfang:
Sei [mm] C\subseteqIR
[/mm]
c [mm] \in [/mm] IR heißt untere Schranke von C [mm] \gdw [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] C : x [mm] \ge [/mm] c ....doch nun wie weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Sa 13.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
> bin wieder zurück vom Urlaub, und kann jetzt wieder an den
> Aufgaben arbeiten.
Kein Problem.
> Was bitte ist trivial daran zu zeigen, dass C ein infimum hat?
Jede nach unten beschränkte Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] besitzt eine größte untere Schranke (Infimum), das ist ein Axiom. Und $C$ ist nach unten beschränkt, z.B. durch $0$.
Wie gesagt, du musst zwei Dinge zeigen:
1) [mm] $\inf A+\inf [/mm] B$ ist eine untere Schranke von C, d.h. [mm] $c\in C\Rightarrow c\ge\inf A+\inf [/mm] B$
Ich geb dir mal nen Anfang:
Sei [mm] $c\in [/mm] C$ beliebig, d.h. $c=a+b$ für ein [mm] $a\in [/mm] A$ und ein [mm] $b\in [/mm] B$. Dann ist [mm] $c=a+b\ge [/mm] ... [mm] \ge\inf A+\inf [/mm] B$ (Lücke füllen und begründen). Also ist [mm] $\inf A+\inf [/mm] B$ eine untere Schranke von $C$.
2) Jede Zahl größer als [mm] $\inf A+\inf [/mm] B$ ist keine untere Schranke von C.
Angenommen, die Behauptung wäre falsch. Dann gäbe es eine untere Schranke [mm] $x>\inf A+\inf [/mm] B$ von $C$....
Jetzt musst du irgendwie einen Widerspruch herleiten, also z.B. "$A$ besitzt eine größere untere Schranke als [mm] $\inf [/mm] A$."
> Ich kenne die Definitionen, aber ich kann diese nie so
> richtig in den Aufgaben benutzen.
Diese Hürde musst du einfach überwinden lernen, das ist das Ziel solcher Übungsaufgaben.
> Also hier die Dinge die mir bei der Aufgaben einfallen.
> -wenn infA + infB= infC ist, dann müssten doch A und B
> [mm]\subset[/mm] C sein, oder?
Wie kommst du darauf? Wenn z.B. [mm] $A=B=\{1\}$, [/mm] so ist [mm] $C=\{2\}$, [/mm] also nicht [mm] $A\subset [/mm] C$.
> - wenn infA und infB existieren, dann hat doch deren Summe
> auch ein infimum, also infC.
Das ist genau das, was du in Teil 1) zeigen musst.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 So 14.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
$ [mm] c=a+b\ge [/mm] a+infB [mm] \ge\inf A+\inf [/mm] B $
die Begründung:
a+b=:C ist ja gegeben.
es könnte aber [mm] a\le [/mm] b oder [mm] a\ge [/mm] b gelten
$ [mm] c=a+b\ge....\ge\inf A+\inf [/mm] B $ hier passt ja nur das oben eingesetzte hinein, oder vielleicht könnte noch b+infA hineinpassen..?
infA ist kleiner a oder höchstens gleich, analog b und infB.
zu 2 überlege ich noch...
stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 So 14.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> [mm]c=a+b\ge a+infB \ge\inf A+\inf B[/mm]
>
>
> die Begründung:
>
> a+b=:C ist ja gegeben.
$a+b=:c$! $C$ ist schon der Name der Menge...
> es könnte aber [mm]a\le[/mm] b oder [mm]a\ge[/mm] b gelten
> [mm]c=a+b\ge....\ge\inf A+\inf B[/mm] hier passt ja nur das oben
> eingesetzte hinein, oder vielleicht könnte noch b+infA
> hineinpassen..?
Ja... aber es ist ja egal in welcher Reihenfolge du das abschätzt.
> infA ist kleiner a oder höchstens gleich, analog b und
> infB.
Genau das ist der Punkt.
Alles richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 So 14.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
zu den 2ten Punkt, der Widerspruchbeweis:
meine Idee:
es gelte a = infA für alle x [mm] \in [/mm] A [mm] x\ge [/mm] a.
also wäre a dann eine untere Schranke von A.
Sei auch a´ eine untere Schranke von A.
Zu zeigen wäre: a [mm] \ge [/mm] a´.d.h. wir nehmen an, dass a-a´>0
(nach [mm] \varepsilon [/mm] >0 existiert ein x [mm] \in [/mm] A : [mm] x
das ist ein Widerspruch dazu, das a´eine untere Schranke von A ist, und dadurch natürlich auch keine größere untere Schranke als infA.
stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 So 14.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> zu den 2ten Punkt, der Widerspruchbeweis:
>
> meine Idee:
>
> es gelte a = infA für alle x [mm]\in[/mm] A [mm]x\ge[/mm] a.
Das schreibt man anders, ausführlich:
"Setze [mm] $a:=\inf [/mm] A$ (d.h. $a$ soll jetzt ein Symbol für den Ausdruck [mm] "\inf [/mm] A" sein, weil wir zu faul sind das immer zu tippen) und damit gilt für alle [mm] $x\in [/mm] A$ nach Definition des Infimums [mm] $x\ge [/mm] a$."
Oder kurz:
"Mit [mm] $a:=\inf [/mm] A$ ist [mm] $\forall x\in A:x\ge [/mm] a$.
> also wäre a dann eine untere Schranke von A.
> Sei auch a´ eine untere Schranke von A.
> Zu zeigen wäre: a [mm]\ge[/mm] a´
Was willst du damit erreichen? Damit würdest du zeigen dass [mm] $\inf [/mm] A$ tatsächlich die größte untere Schranke von $A$ ist. Aber das wussten wir auch schon vorher, so ist das Infimum nämlich definiert. Du musst zeigen, dass [mm] $\inf A+\inf [/mm] B$ die größte untere Schranke von $C$ ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 So 14.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Guten Abend,
habe jetzt wieder zeit mich mit der Aufgabe zu beschäftigen.
also $ [mm] a:=\inf [/mm] A $ ist $ [mm] \forall x\in A:x\ge [/mm] a $ und
$ [mm] b:=\inf [/mm] B $ ist $ [mm] \forall x\in B:x\ge [/mm] b $
und wir sollen beweisen dass a+b die größte untere Schranke ist.
also nehmen wir ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] beliebig.
wir müssen zeigen, dass ein [mm] x\in [/mm] C mit [mm] x>(a+b)+\varepsilon [/mm] existiert.
Und das indirekt, also Annahme ein solches x existiert nicht.
Dann ist [mm] x\le(a+b)+\varepsilon, [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] C
Das heißt [mm] (a+b)+\varepsilon [/mm] ist eine untere Schranke von C
da aber [mm] (a+b)+\varepsilon>(a+b), [/mm] erhalten wir einen Widerspruch, dass a+b die größte untere Schranke ist.....
ich hoffe ich habe da kein Mist gemacht...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Mo 15.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> Guten Abend,
> habe jetzt wieder zeit mich mit der Aufgabe zu
> beschäftigen.
>
> also [mm]a:=\inf A[/mm] ist [mm]\forall x\in A:x\ge a[/mm] und
> [mm]b:=\inf B[/mm] ist [mm]\forall x\in B:x\ge b[/mm]
>
> und wir sollen beweisen dass a+b die größte untere Schranke
> ist.
>
> also nehmen wir ein [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig.
> wir müssen zeigen, dass ein [mm]x\in[/mm] C mit [mm]x>(a+b)+\varepsilon[/mm]
> existiert.
Das Relationszeichen ist verkehrt herum.
> Und das indirekt, also Annahme ein solches x existiert
> nicht.
> Dann ist [mm]x\le(a+b)+\varepsilon,[/mm] für alle [mm]x\in[/mm] C
Dito.
> Das heißt [mm](a+b)+\varepsilon[/mm] ist eine untere Schranke von C
> da aber [mm](a+b)+\varepsilon>(a+b),[/mm] erhalten wir einen
> Widerspruch, dass a+b die größte untere Schranke ist.....
Das geht so leider nicht. Wenn du dir deinen Beweis mal genau anschaust steht da:
"Angenommen $a+b$ wäre nicht die größte untere Schranke, dann wäre $a+b$ nicht die größte untere Schranke" 
Das ist natürlich kein Widerspruch und beweist demzufolge gar nix.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
aber wie soll ich das machen?
infC = infA+infB , das bedeutet, dass die größte untere Schranke von C die Summe von infA und infB ist.
sobald ich infA +b oder infB+a nehme ist das keine größte untere Schranke,denn entweder ist die Schranke dann verkleinert(nicht die größte) oder soweit vergrößert, dass es keine untere Schranke ist.
also [mm] infA+infB\lea+b
[/mm]
wir nehmen also eine untere Schranke von C , [mm] \varepsilon,
[/mm]
[mm] \forall a\inA [/mm] und [mm] \forall b\inB [/mm] : [mm] \varepsilon \le [/mm] a+b
[mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B: [mm] \varepsilon-b [/mm] ist untere Schranke von A (analog fürB)
[mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B: [mm] \varepsilon-b\le [/mm] infA
[mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B: [mm] \varepsilon- infA\leb
[/mm]
[mm] \varepsilon-a [/mm] ist untere Schranke von B
[mm] \varepsilon- infA\le [/mm] infB
[mm] \varepsilon\le [/mm] infA+infB
stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Mo 15.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> wir nehmen also eine untere Schranke von C , [mm]\varepsilon,[/mm]
>
> [mm]\forall a\inA[/mm] und [mm]\forall b\inB[/mm] : [mm]\varepsilon \le[/mm] a+b
> [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B: [mm]\varepsilon-b[/mm] ist untere Schranke von A
> (analog fürB)
> [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B: [mm]\varepsilon-b\le[/mm] infA
> [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B: [mm]\varepsilon- infA\leb[/mm]
> [mm]\varepsilon-a[/mm] ist
> untere Schranke von B
> [mm]\varepsilon- infA\le[/mm] infB
> [mm]\varepsilon\le[/mm] infA+infB
Ja sehr gut. Die Idee ist genau richtig, du hast es sogar direkt, also ohne Widerspruch gemacht. In der B-Note würde ich dir aber ein paar Punkte abziehen weil der Beweis sich ziemlich schlecht liest. Es Ist nicht so ganz klar wie die Aussagen eigentlich zusammenhängen oder wo sie eigentlich beginnen und enden. Warum schreibst du bei deiner ersten Folgerung, dass sie analog auch für $A$ folgt, wenn du das gar nicht benutzt oder brauchst? Versuche lieber, weniger Formeln und ein bischen mehr "Prosa". Beweise werden für Menschen geschrieben, nicht für Computer.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Das finde ich ja schonmal nicht schlecht.
Kannst du vielleicht ein andere Aufgabe von mir durchschauen, die steht unter den Namen "Schranken bestimmen" Aufgabe2.
Die Aufgabe ist der hier ähnlich, nur das halt sup nachzuweisen ist,
mit supD=supA*SupB ?
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