Bestimmung der Gleichung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 So 22.05.2005 | | Autor: | Guilia |
hallo erstmal, ich schreib morgen ne matheklausur und es wäre nett, wenn mir jemand helfen würde:
Aufgabe:
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x)= x³, die zu der Geraden g mit der Gleichung g(x)= 3x- 2 parallel ist.
ich hab jetzt die ableitung ausgerechnet und hab 3a² raus.
3= 3a² a=1; -1
t(1) = 3*1 + b = 1
t(-1) = 3 * (-1) + b = -1
bis dahin versteh ich es noch... aber wie komm ich jetzt auf die gleichung??
irgendwas mit: 3x wegen der steigung... aber danach weiß ich einfach nicht weiter
rauskommen müsste: 3x - 2
3x + 2
schonmal vielen Dank
Guilia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 So 22.05.2005 | | Autor: | Guilia |
was ich noch sagen wollte:
angeblich ist es zufall dass die gleichung der, der tangente entspricht.
also ist es wichtig für mich zu wissen, wie man generell auf die gleichung der parallelen kommt. wenn es jmd leichter fällt hab ich auch noch andere aufgaben :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 So 22.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> hallo erstmal, ich schreib morgen ne matheklausur und es
> wäre nett, wenn mir jemand helfen würde:
>
> Aufgabe:
> Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen
> der Funktion f(x)= x³, die zu der Geraden g mit der
> Gleichung g(x)= 3x- 2 parallel ist.
>
>
> ich hab jetzt die ableitung ausgerechnet und hab 3a² raus.
> 3= 3a² a=1; -1
>
> t(1) = 3*1 + b = 1
> t(-1) = 3 * (-1) + b = -1
>
> bis dahin versteh ich es noch... aber wie komm ich jetzt
> auf die gleichung??
>
> irgendwas mit: 3x wegen der steigung... aber danach weiß
> ich einfach nicht weiter
>
> rauskommen müsste: 3x - 2
> 3x + 2
>
>
> schonmal vielen Dank
> Guilia
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Hallo Guilia,
also du hast die Funktion [mm] $f(x)=x^3$ [/mm] und du weißt, dass die
Tangente parallel zur Geraden $g(x)=3x-2$ ist. Über parallele
Geraden wissen wir, dass ihre Steigungen gleich sind und
deshalb wissen wir von unseren Tangente $t(x)=3x+b$
So und wir wissen, dass die Tangente die gleiche Steigung
hat wie die Funktion am Berührpunkt. Die Steigung einer
Funktion entspricht ihrer ersten Ableitung, somit ist die
Steigung der Tangente $t'(x)=3$ und die Steigung der
Kurve [mm] $f'(x)=3x^2$. [/mm] Da die Steigungen am Berührpunkt
gleich sein müssen, können wir sie gleichsetzen:
[mm] $f'(x_s)=t'(x_s)$ [/mm] Wir benutzen [mm] $x_s$, [/mm] weil wir nur das
$x$ vom Berührpunkt suchen.
[mm] $3x_s^2=3$
[/mm]
Das formen wir jetzt nach [mm] $x_s$ [/mm] um:
[mm] $x_s=\pm [/mm] 1$
So und da es der Berührpunkt ist, haben die Funktionen
an diesem Punkt nicht nur die gleiche Steigung, sondern
der Punkt ist auch Element der beiden Kurven. Daraus
folgt:
[mm] $f(x_s)=t(x_s)$
[/mm]
Wir können für [mm] $x_s$ [/mm] auch schon [mm] $\pm [/mm] 1$ schreiben:
[mm] $(\pm 1)^3=3*(\pm [/mm] 1)+b$
[mm] $b_1=-2$
[/mm]
[mm] $b_2=2$
[/mm]
Wir haben also zwei Tangenten mit der Steigung $3$
ermittelt:
[mm] $t_1(x)=3x-2$
[/mm]
[mm] $t_2(x)=3x+2$
[/mm]
[mm] $t_2(x)$ [/mm] ist aber nicht echt parallel zu der Geraden
$g(x)$, da gilt: [mm] $t_2(x)=g(x)$
[/mm]
Warum veränderst du beim Ableiten die Funktionsvariablen?
Behalte sie einfach bei, denn sonst sieht es sehr verwirrend aus.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein,
so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 So 22.05.2005 | | Autor: | Guilia |
also vielen Dank schonmal...
mein problem liegt gerade dabei b zu berechnen... ich versteh nicht wie du auf die 2 bzw -2 kommst.
das mit den variablen ist entweder ein schreibfehler von mir oder (was wahrscheinlicher ist =) schuld meiner mathelehrerin... weiß grad nicht so genau worauf du hinaus willst.
wenn du t meinst habe ich nichts damit zu tun, werde meine mathelehrerin aber mal drauf hinweisen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 So 22.05.2005 | | Autor: | Guilia |
tschuldigung jetzt hab ich es kapiert, du meinst a. ja das liegt daran, dass wir beim ableiten mit x und a rechnen... und dann eben a rauskommt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 So 22.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Guilia!
Wir haben doch die beiden Stellen ermittelt, an denen die Steigung der Funktion $f(x) \ = \ [mm] x^3$ [/mm] der Geradensteigung [mm] $m_g [/mm] \ = \ 3$ entspricht:
[mm] $x_1 [/mm] \ = \ +1$ bzw. [mm] $x_2 [/mm] \ = \ -1$
Dazu gehören doch folgende Funktionswerte:
[mm] $y_1 [/mm] \ = \ [mm] f(x_1) [/mm] \ = \ [mm] x_1^3 [/mm] \ = \ [mm] (+1)^3 [/mm] \ = \ 1$
[mm] $y_2 [/mm] \ = \ [mm] f(x_2) [/mm] \ = \ [mm] x_2^3 [/mm] \ = \ [mm] (-1)^3 [/mm] \ = \ -1$
Wir haben also zwei Punkte ermittelt:
[mm] $P_1 [/mm] \ [mm] \left( \ 1; 1\ \right)$ [/mm] und [mm] $P_2 [/mm] \ [mm] \left( \ -1; -1\ \right)$
[/mm]
Diese beiden Punkte müssen ja jeweils auch die entsprechenden Tangentengleichungen erfüllen: [mm] $t_1(x) [/mm] \ = \ 3*x + [mm] b_1$ [/mm] .
Wir setzen als sowohl x-Wert und y-Wert in die Geradengleichung ein und stellen nach [mm] $b_1$ [/mm] um:
[mm] $3*\underbrace{(+1)}_{=x_1} [/mm] + [mm] b_1 [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{+1}_{=y_1}$
[/mm]
Durch Umstellen erhalten wir:
$3*1 + [mm] b_1 [/mm] \ = \ 3 + [mm] b_1 [/mm] \ = \ 1$ $| \ -3$
[mm] $\gdw [/mm] \ \ [mm] b_1 [/mm] \ = \ 1-3 \ = \ -2$
Die Tangente durch den Punkte [mm] $P_1$ [/mm] lautet also: [mm] $t_1(x) [/mm] \ = \ 3x-2$
Für den anderen Punkt funktioniert das analog und Du solltest erhalten:
[mm] $b_2 [/mm] \ = \ +2$ [mm] $\Rightarrow$ $t_2(x) [/mm] \ = \ 3x+2$
Nun alle Klarheiten beseitigt?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 So 22.05.2005 | | Autor: | Guilia |
aaaaaah... vielen lieben dank...
jetzt wird mir alles klar...
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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