Bestimmung der Diskriminante < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Schaf |
Ich hab hier so eine Aufgabe, mit der ich nicht ganz zu recht komme:
Für welche Einsetzung von a -soweit möglich- hat die Gleichung
[mm]x^{4}+ax²=0[/mm]
keine Lösung;eine Lösung; 2Lösungen; 3Lösungen; vier Lösungen?
nun weiß ich, dass wenn die Diskriminante 0 ist es 1 Lösung gibt, wenn sie <0 ist keine Lösung un wenn sie >0 ist 2
ich hba versucht die Gleichung aufzulösen.
da hab ich zuerst die Wurzel gezogen
dann steht da x²+ax=0
nun...bringt es ja eigentlich nichts, wenn man die p-q-Formel anwendet, weil ja das lineare Glied fehlt (also q).
also müsste man ja eigentlich so weitermachen:
x²=-ax...und jetzt die wurzel ziehen.
aber, dann gibt es gar keine Lösung und auch keine Diskriminante...muss man das denn doch nach der p-q-Formel machen und 0 als lineares Glied verwenden???
wär echt lieb, wenn ihr mir helfen würdet!!! (=
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 11:41 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Lunita |
> Ich hab hier so eine Aufgabe, mit der ich nicht ganz zu
> recht komme:
>
> Für welche Einsetzung von a -soweit möglich- hat die
> Gleichung
>
> [mm]x^{4}+ax²=0[/mm]
>
> keine Lösung;eine Lösung; 2Lösungen; 3Lösungen; vier
> Lösungen?
>
> nun weiß ich, dass wenn die Diskriminante 0 ist es 1 Lösung
> gibt, wenn sie <0 ist keine Lösung un wenn sie >0 ist 2
Die Diskriminante brauchst du hier nich benutzen,da du ein [mm] x^2 [/mm] ausklammern kannst. [mm] x^2(x^2+a)=0 [/mm] Um nun 0 rechnerisch zu ermittelt,muss einer der beiden Faktoren 0 sein,d.h. x=0 und [mm] x^2+a= [/mm] 0 bei der zweiten Gleichung müsstest du aba die Wurzel aus -a ziehen,was nich erlaubt ist und somit hat die Gleichung nur eine Lösung.
> ich hba versucht die Gleichung aufzulösen.
> da hab ich zuerst die Wurzel gezogen
> dann steht da x²+ax=0
Wenn du hier die Wurzel ziehst,musst du auch die Wurzel aus a ziehen,so das du hier folgende Gleichung stehen hättest: [mm] x^2+ \wurzel{a}*x=0
[/mm]
> nun...bringt es ja eigentlich nichts, wenn man die
> p-q-Formel anwendet, weil ja das lineare Glied fehlt (also
> q).
> also müsste man ja eigentlich so weitermachen:
> x²=-ax...und jetzt die wurzel ziehen.
> aber, dann gibt es gar keine Lösung und auch keine
> Diskriminante...muss man das denn doch nach der p-q-Formel
> machen und 0 als lineares Glied verwenden???
> wär echt lieb, wenn ihr mir helfen würdet!!! (=
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Also zuerstmal das [mm]x^2[/mm] ausklammern, wie's Lunita gemacht hat:
[mm]x^2 \cdot (x^2+a) = 0[/mm]
Jetzt das, was manche als "Satz vom Nullprodukt" bezeichnen: das Produkt von mehreren Faktoren wird dann =0, wenn einer der Faktoren =0 ist.
Hier bedeutet das: [mm]x^2 \cdot (x^2+a) = 0[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]x^2=0[/mm] oder [mm]x^2+a=0[/mm].
Bis hierhin war alles richtig bei Lunita.
Man sieht also, dass [mm]x=0[/mm] auf jeden Fall eine Lösung ist; den Fall "keine Lösung" kann's also schon mal nicht geben.
Jetzt zum zweiten Faktor: [mm]x^2+a[/mm] kann sehr wohl noch weitere Nullstellen haben, nämlich genau dann, wenn a negativ ist.
Stellen wir die Gleichung mal um: [mm]x^2+a=0[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]x^2=-a[/mm].
Jetzt müssten wir die Wurzel ziehen: [mm]x_{2,3}=\pm\wurzel{-a}[/mm]
Und das geht dann, wenn gilt [mm]a \le 0[/mm]. Für [mm]a>0[/mm] geht das nicht, da hat Lunita recht.
Also, nochmal überlegen, wann es wieviele Nullstellen gibt:
Für a>0 kommt keine weitere Nullstelle dazu, also haben wir nur eine einzige, nämlich [mm]x=0[/mm].
Für a=0 ergibt dieser zweite Faktor [mm]x^2+a[/mm] auch wieder die "alte" Nullstelle [mm]x=0[/mm], also hätten wir auch hier wieder nur eine Nullstelle.
Für a<0 liefert uns der zweite Faktor [mm]x^2+a[/mm] die zwei neuen Nullstellen [mm]x_2=\wurzel{-a}[/mm] und [mm]x_3=-\wurzel{-a}[/mm], und somit wären's in diesem Fall insgesamt 3 Nullstellen.
Und die Fälle "2 Nullstellen" und "4 Nullstellen" (zumindest, wenn nach verschiedenen Nullstellen gefragt ist) gibt's dann hier nicht.
Und noch was: bei der Gleichung [mm]x^4+ax^2=0[/mm] lässt sich nicht einfach so die Wurzel ziehen, so daß dann [mm]x^2+\wurzel{a}x=0[/mm] dasteht (sonst würden z.B. die Binomischen Formeln nicht gelten).
Oder einfach ein Gegenbeispiel: wir sind uns einig, dass gilt [mm]9+16=25[/mm].
Wenn wir jetzt auf beiden Seiten "einfach so" aus jedem Summand die Wurzel ziehen, dann steht da [mm]3+4=5[/mm], was nicht so ganz richtig ist.
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