Bestimmung aller holom. Fkt'en < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Di 14.12.2010 | | Autor: | Wolve |
| Aufgabe | (Teil von Staatsexamensaufgabe 2007)
Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen [mm] $f:\IC^{x} \to \IC$ [/mm] mit $|f(z)| [mm] \ge \bruch{1}{|z|}$ [/mm] für alle $z [mm] \not= [/mm] 0$.
(Zum Verständnis: [mm] $\IC^{x} [/mm] = [mm] \IC \backslash \{ 0\}$) [/mm] |
Schönen guten Tag,
Meine Kommilitonen und ich finden wirklich kaum eine Funktion, die das erfüllt..
Logarithmus und Exponentialfunktion passen nicht zum Definitionsbereich.
Dass $f(z) = [mm] \bruch{c}{|z|}$ [/mm] mit $c [mm] \in \IN$ [/mm] die Ungleichung erfüllt ist klar.
Eine Idee einer Kommilitonin war $f(x) = [mm] \bruch{1}{|z|^{n}}$:
[/mm]
Betrachtet an n=2:
[mm] $\bruch{1}{|z|^2} \ge \bruch{1}{|z|}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{x^2 + y^2} \ge \bruch{1}{\wurzel{x^2 + y^2}}$
[/mm]
[mm] $\wurzel{x^2 + y^2} \ge x^2 [/mm] + [mm] y^2$
[/mm]
was dann auch nur für $|z|<1$ funktioniert, somit auch nicht passt (oder hab ich mich da vertan?)
Also wir sind da ziemlich ratlos und wären dankbar für jede holomorphe Funktion, die den Sachverhalt erfüllt oder einen Weg, um sie bestimmen zu können.
Gruß Hendrik
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:45 Mi 15.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> (Teil von Staatsexamensaufgabe 2007)
> Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen [mm]f:\IC^{x} \to \IC[/mm]
> mit [mm]|f(z)| \ge \bruch{1}{|z|}[/mm] für alle [mm]z \not= 0[/mm].
>
> (Zum Verständnis: [mm]\IC^{x} = \IC \backslash \{ 0\}[/mm])
Aus $|f(z)| [mm] \ge [/mm] 1/|z|$ folgt ja, dass $f$ keine Nullstellen hat. Also ist $g : [mm] \IC^\ast \to \IC^\ast$, [/mm] $z [mm] \mapsto \frac{1}{z f(z)}$ [/mm] holomorph.
Zeige:
a) $g$ ist beschraenkt
b) $g$ ist in 0 holomorph fortsetzbar.
Was kannst du daraus folgern?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Do 16.12.2010 | | Autor: | Wolve |
Moin Felix,
Danke für deine schnelle Antwort.
Darauf wär ich selbst mal nicht gekommen mit $g : [mm] \IC^\ast \to \IC^\ast [/mm] $, $z [mm] \mapsto \frac{1}{z f(z)}$, [/mm] aber ist natürlich klar, dass es f(z) keine Nullstellen haben darf.
Dass g beschränkt, weiß ich leider nicht wie man das zeigt, das haben wir immer so theoretisch gemacht, dass ich das hier nicht anzuwenden weiß. Würde mich freuen, wenn du es mir zeigen könntest.
Aber probieren möchte ich es dennoch:
Wegen $|g(z)| [mm] \ge \bruch{1}{|z|} [/mm] > 0$ muss g beschränkt sein.
(Anwendung des Riemann'schen hebbarkeitssatzes aus unserem Skript)
Somit sei [mm] $\IC^{x} \in \IC$ [/mm] Bereich, $0 [mm] \in \IC$, [/mm] $g [mm] \in \partial (\IC \backslash \{0\})$ [/mm] (Ich verwende hier mal [mm] \partial [/mm] für die Summe aller holomorphen Funktionen)
Es existiere eine Umgebung [mm] $U_{(0)}$ [/mm] mit [mm] $g|_{U\backslash \{0\}} [/mm] > 0$ beschränkt ist.
Dann gilt: g ist fortsetzbar zu einer in ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorphen Funktion.
Somit wird aus $g : [mm] \IC^\ast \to \IC^\ast [/mm] $, $ z [mm] \mapsto \frac{1}{z f(z)}$ [/mm] folgendes: $g : [mm] \IC^\ast \to \IC$, [/mm] $ z [mm] \mapsto \frac{1}{z f(z)}$
[/mm]
Hier kommt mir irgendwie der Satz von Liouville in den Kopf.
Da g eine ganze Funktion ist, exisiert eine Potenzreihe [mm] $\summe_{\nu = 0} c_{\nu} z^{\nu}$ [/mm] mit dem Konvergenzradius [mm] $R=\infty$ [/mm] derart, dass für alle [mm] $z\in \IC$ [/mm] (haben wir ja eben gezeigt, dass es nun auf ganz [mm] \IC [/mm] holomorph ist) gilt: $g(z) = [mm] \summe_{\nu =0}^{\infty} c_{\nu} z^{\nu}$ [/mm] .
Jetzt bin ich mir aber unsicher, ob ich ganz g als Potenzreihe ausdrücken darf oder nicht... Falls ja, meine ich hier fertig zu sein... wie ich es aber ausdrücken soll, damit die Ungleichung erfüllt ist, weiß ich nicht.
Falls ich aber f als Potenzreihe ausdrücken soll, dann habe ich für g: [mm] $\frac{1}{\summe_{\nu =0}^{\infty} c_{\nu} z^{\nu +1}}$. [/mm] Unsicher bin ich mir wie ich es zeige, dass es [mm] $\ge \frac{1}{|z|} [/mm] ist, also wieder wie ich es ausdrücken soll, bzw. weiß ich es nicht.
Beste Grüße
Hendrik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Do 16.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir haben: $ |f(z)| [mm] \ge \bruch{1}{|z|} [/mm] $ für z [mm] \ne [/mm] 0.
So wie Felix die Funktion g definiert hat, folgt daraus sofort:
(*) $|g(z)| [mm] \le [/mm] 1$ für z [mm] \ne [/mm] 0.
g hat in 0 eine isolierte Singularität und aus (*) folgt mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz, das 0 eine hebbare Sing. von g ist.
g lässt sich also auf [mm] \IC [/mm] zu einer holomorphen Funktion h fortsetzen für die gilt:
$|h(z)| [mm] \le [/mm] 1$ für z [mm] \in \IC
[/mm]
Deine Idee mit Liouville war goldrichtig. Denn es folgt: h ist konstant.
Was folgt für f ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Do 16.12.2010 | | Autor: | Wolve |
Danke euch beiden schonmal für die Antworten, habt mir sehr weitergeholfen.
Wenn h konstant ist, dann ist auch f konstant...
Wenn h(z) konstant ist, ist folglich f(z) konstant und somit $ |f(z)| [mm] \ge \bruch{1}{|z|} [/mm] $ oder?
Soweit richtig verstanden?
Danke euch nochmals für die Zeit, die ihr euch immer nehmt :)
Gruß Hendrik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Fr 17.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke euch beiden schonmal für die Antworten, habt mir
> sehr weitergeholfen.
>
> Wenn h konstant ist, dann ist auch f konstant...
> Wenn h(z) konstant ist, ist folglich f(z) konstant und
> somit [mm]|f(z)| \ge \bruch{1}{|z|}[/mm] oder?
> Soweit richtig verstanden?
Nein, überhaupt nicht !!
Wenn h konstant ist, so ist auch g konstant und somit ex. ein c [mm] \in \IC [/mm] mit:
$c= [mm] \bruch{1}{z*f(z)}$ [/mm] für z [mm] \ne0
[/mm]
damit ist f von der Form
$f(z)= [mm] \bruch{1}{cz}$
[/mm]
Jetzt mach Dir noch Gedanken über den Betrag von c
FRED
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> Danke euch nochmals für die Zeit, die ihr euch immer nehmt
> :)
> Gruß Hendrik
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