Bestimmung Logarithmusfunktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Wolve |
| Aufgabe | Sei $G := [mm] \IC\backslash\IR_{+}$. [/mm] Bestimmen Sie eine Logarithmusfunktion auf $G$.
(Hinweis: Für $z [mm] \in [/mm] G$ gilt: $-z [mm] \in \IC^{-}$) [/mm] |
Schönen guten Tag,
Ich kann mit dieser Aufgabe leider wenig anfangen. In der Vorlesung haben wir lediglich die Nebenzweige mit [mm] $log_{n}(z)=log|z|+i arg(z)+2\pi*i*n$ [/mm] bzw. [mm] $log(z)+2\pi*i*n$ [/mm] und den Hauptzweig mit [mm] $log_{0}(z)=\bruch{1}{2}log(x^{2}+y^{2})+i*arctan\bruch{y}{x}$ [/mm] definiert [mm] $\forall z\in \IC^{-}.
[/mm]
Da wir eben ausschließlich [mm] $\forall [/mm] z [mm] \in \IC^{-}$ [/mm] alles definiert haben und diese Thematik im universitären Rahmen mit wenig veranschaulichenden Zeichnungen verbunden ist, nehme ich auch an, dass es auch schwer veranschaulichbar ist, wenn ich allein an die komplexe Exponentialfunktion denke.
Meine einzige Idee wäre es das $-z$ folgendermaßen einzufügen: [mm] $log_{n}(z) [/mm] = log|z| + i arg(-z) + [mm] 2\pi*i*n$.
[/mm]
Alternativ sie "so" bestimmen, dass beim Logartihmus als Umkehrabbildung [mm] $2\pi*n$ [/mm] nicht erreicht wird. Klingt wahrscheinlich etwas wirr, weiß es leider nicht besser in Worte zu fassen.
Da ich irgendwie an beiden Varianten sehr daran zweifle, bitte ich um jegliche hilfreiche Idee.
Beste Grüße
Hendrik
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]G := \IC\cap\IR_{+}[/mm]. Bestimmen Sie eine
Du meinst sicher [mm] $\setminus$ [/mm] und nicht [mm] $\cap$. [/mm] Also $G = [mm] \IC \setminus \IR_+$.
[/mm]
> Logarithmusfunktion auf [mm]G[/mm].
> (Hinweis: Für [mm]z \in G[/mm] gilt: [mm]-z \in \IC^{-}[/mm])
Was genau ist [mm] $\IC^-$? $\IC \setminus \IR_{-}$?
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Wolve |
Ja genau, richtig, meinte $G = [mm] \IC \setminus \IR_+$, [/mm] habe es soeben ausgebessert.
> Was genau ist [mm] $\IC^-$? $\IC \setminus \IR_{-}$? [/mm]
Genau.. haben wir folgendermaßen definiert:
[mm] $\IC^{-}:=\{z\in \IC | z \not\in -\IR^{+}\}$
[/mm]
Gruß
Hendrik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Hendrik!
> Sei [mm]G := \IC\backslash\IR_{+}[/mm]. Bestimmen Sie eine
> Logarithmusfunktion auf [mm]G[/mm].
> (Hinweis: Für [mm]z \in G[/mm] gilt: [mm]-z \in \IC^{-}[/mm])
>
> Schönen guten Tag,
>
> Ich kann mit dieser Aufgabe leider wenig anfangen. In der
> Vorlesung haben wir lediglich die Nebenzweige mit
> [mm]$log_{n}(z)=log|z|+i arg(z)+2\pi*i*n$[/mm] bzw.
> [mm]$log(z)+2\pi*i*n$[/mm] und den Hauptzweig mit
> [mm]$log_{0}(z)=\bruch{1}{2}log(x^{2}+y^{2})+i*arctan\bruch{y}{x}$[/mm]
> definiert [mm]$\forall z\in \IC^{-}.[/mm]
>
> Da wir eben ausschließlich [mm]\forall z \in \IC^{-}[/mm] alles
> definiert haben und diese Thematik im universitären Rahmen
> mit wenig veranschaulichenden Zeichnungen verbunden ist,
> nehme ich auch an, dass es auch schwer veranschaulichbar
> ist, wenn ich allein an die komplexe Exponentialfunktion
> denke.
>
> Meine einzige Idee wäre es das [mm]-z[/mm] folgendermaßen
> einzufügen: [mm]log_{n}(z) = log|z| + i arg(-z) + 2\pi*i*n[/mm].
Ich nehme mal an, $n [mm] \in \IZ$?
[/mm]
Ob das stimmt kann man ganz einfach testen:
[mm] $\exp(log|z| [/mm] + i arg(-z) + [mm] 2\pi*i*n) [/mm] = [mm] \exp(\log [/mm] |z|) [mm] \exp(i [/mm] arg(-z)) [mm] \exp(2 \pi [/mm] i n) = |-z| [mm] \exp(i [/mm] arg(-z)) [mm] \cdot [/mm] 1 = -z$.
Passt also nicht. Aber du bist schon nahe dran. Du musst etwas passendes dazuaddieren, was exponentiert $-1$ ergibt.
(Und das $n$ kannst du auch ruhig weglassen. Du brauchst nur einen Zweig anzugeben, nicht alle.)
(Oder ersetz das $n$ durch etwas passendes, was keine ganze Zahl ist.)
Ich hoffe das hilft dir etwas weiter...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Wolve |
Das Dumme ist, dass ich nicht weiß was rauskommen soll bei diesem Test, um dem Sachverhalt nachzukommen...
Aber gefühlt sollte ich ein [mm] $\pm i*\pi$ [/mm] dazuaddieren...
[mm] $exp(i*\pi)=cos\pi [/mm] + [mm] i*sin\pi [/mm] = -1 + 0= -1$ oder
[mm] $exp(-i*\pi)=\underbrace{(cos(-\pi) + i*sin(-\pi) = cos\pi - i*sin\pi}_{haben-wir-schon-bewiesen} [/mm] = -1 + 0= -1$
Somit für alle [mm] $(2n+1)*i*\pi$ [/mm] oder? Zur Einfachheit verwende ich mal nur [mm] $i*\pi$
[/mm]
Also bestimmte ich mal [mm] $log^{\*}=log|z| [/mm] + i arg(z) + [mm] \underbrace{2\pi*i + i*\pi}_{= 3*i*\pi = i*\pi} [/mm] = log|z| + i arg(z) + [mm] i*\pi$.
[/mm]
(Natürlich ist [mm] §3*i*\pi§ [/mm] nicht gleich [mm] $i*\pi$ [/mm] aber in Form mit $n$ gebracht [mm] ($(2n+1)*i*\pi$) [/mm] oder exponentiert ist es das gleiche)
Somit für [mm] $exp(log^{\*})=\exp(log|z| [/mm] + i arg(z) + [mm] i*\pi)=\exp(\log|z|)+\exp(i*arg(z))+\exp(i*\pi)= [/mm] |z|*exp(i*arg(z))*(-1) = -z$
Und das haben wir gesagt passt nicht... hmm.. irgendwo ist noch der Wurm drin....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Das Dumme ist, dass ich nicht weiß was rauskommen soll bei
> diesem Test, um dem Sachverhalt nachzukommen...
Es muss $z$ herauskommen: der Logarithmus ist ja die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
> Aber gefühlt sollte ich ein [mm]\pm i*\pi[/mm] dazuaddieren...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]exp(i*\pi)=cos\pi + i*sin\pi = -1 + 0= -1[/mm] oder
> [mm]exp(-i*\pi)=\underbrace{(cos(-\pi) + i*sin(-\pi) = cos\pi - i*sin\pi}_{haben-wir-schon-bewiesen} = -1 + 0= -1[/mm]
>
> Somit für alle [mm](2n+1)*i*\pi[/mm] oder? Zur Einfachheit verwende
> ich mal nur [mm]i*\pi[/mm]
>
> Also bestimmte ich mal [mm]log^{\*}=log|z| + i arg(z) + \underbrace{2\pi*i + i*\pi}_{= 3*i*\pi = i*\pi} = log|z| + i arg(z) + i*\pi[/mm].
Jetzt hast du $arg(-z)$ wieder durch $arg(z)$ ersetzt.
> (Natürlich ist [mm]§3*i*\pi§[/mm] nicht gleich [mm]i*\pi[/mm] aber in Form
> mit [mm]n[/mm] gebracht ([mm](2n+1)*i*\pi[/mm]) oder exponentiert ist es das
> gleiche)
>
> Somit für [mm]exp(log^{\*})=\exp(log|z| + i arg(z) + i*\pi)=\exp(\log|z|)+\exp(i*arg(z))+\exp(i*\pi)= |z|*exp(i*arg(z))*(-1) = -z[/mm]
>
> Und das haben wir gesagt passt nicht... hmm.. irgendwo ist
> noch der Wurm drin....
Das Problem ist dass du $arg(z)$ anstelle $arg(-z)$ verwendest.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Wolve |
Dann waren meine 2 Anfangsideen garnicht so abwegig, nur dass ich sie hätte zusammenführen sollen (selbst wenn sie nur rein instinktiv waren)....
Also wenn ich mein [mm] $i*\pi$ [/mm] habe und $arg(-z)$ verwende komme ich auf z und habe die gesuchte Logarithmusfunktion gefunden? Danke dir :)
Aber zu meinem eigenen Verständnis: den gleichen Effekt habe ich doch auch bei der normalen Logarithmusfunktion, da müsste doch auch, wenn ich expotentiere $z$ rauskommen.
Wo ist der Unterschied, der den Sachverhalt von $x [mm] \in [/mm] G := [mm] \IC \backslash \IR^{+}$ [/mm] erfüllt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Dann waren meine 2 Anfangsideen garnicht so abwegig, nur
> dass ich sie hätte zusammenführen sollen (selbst wenn sie
> nur rein instinktiv waren)....
>
> Also wenn ich mein [mm]i*\pi[/mm] habe und [mm]arg(-z)[/mm] verwende komme
> ich auf z und habe die gesuchte Logarithmusfunktion
> gefunden? Danke dir :)
Genau so ist es :)
> Aber zu meinem eigenen Verständnis: den gleichen Effekt
> habe ich doch auch bei der normalen Logarithmusfunktion, da
> müsste doch auch, wenn ich expotentiere [mm]z[/mm] rauskommen.
Exakt.
> Wo ist der Unterschied, der den Sachverhalt von [mm]x \in G := \IC \backslash \IR^{+}[/mm]
> erfüllt?
Nun, $arg$ ist auf [mm] $\IC^-$ [/mm] definiert. Hier willst du aber Werte aus $G$ einsetzen, also nimmst du $arg(-z)$ mit $z [mm] \in [/mm] G$.
Da das $arg(z)$ in [mm] $\log_n(z) [/mm] = [mm] \log [/mm] |z| + i arg(z) + n 2 [mm] \pi [/mm] i$ das einzige ist, was nicht auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] definiert ist (der Betrag ist ueberall definiert, und der klassische Logarithmus von etwas $> 0$ auch), musst du halt $i arg(z)$ durch etwas ersetzen, was auf $G$ definiert ist -- und du hsat es durch $i arg(-z) + [mm] \pi [/mm] i$ ersetzt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Di 23.11.2010 | | Autor: | Wolve |
Moin Felix,
Wenn du das erklärst schließen sich einige Lücken und es klingt alles so sinnvoll und einfach. Du solltest unsere Vorlesungen halten, hehe :)
Erneut danke ich dir vielmals...
LG Hendrik
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