Bestimmung Lage zweier Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 So 14.10.2012 | | Autor: | Johi10 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Lage der beiden Ebenen und bestimmen sie gegebenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden
E1:x= (8/0/2)+r*(-4/1/1)+s*(5/0/-1)
E2:x= (1/0/1)+r*(-3/0/1)+s*(1/4/1) |
Wie untersuche ich dort,also wenn sie in Parametergleichung angegeben sind,die Lage?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 So 14.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen sie die Lage der beiden Ebenen und bestimmen sie
> gegebenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden
>
> E1:x= (8/0/2)+r*(-4/1/1)+s*(5/0/-1)
> E2:x= (1/0/1)+r*(-3/0/1)+s*(1/4/1)
> Wie untersuche ich dort,also wenn sie in
> Parametergleichung angegeben sind,die Lage?
da gibt's verschiedene Möglichkeiten:
1. Bilde für jede Ebene einen Vektor, der orthogonal auf die Ebene steht.
(Stichwort: Kreuzprodukt). Schau', ob diese beiden so gebildeten
auf die Ebene senkrecht stehenden Vektoren zwei linear abhängige oder
zwei linear unabhängige Vektoren sind:
a) Sind sie l.a., so sind die Ebenen
schonmal parallel, haben die Ebenen dann auch nur einen Punkt
gemeinsam, so sind sie sogar identisch.
b) Sind die Vektoren l.a. und haben die Ebenen keinen gemeinsamen Punkt,
so sind die Ebenen echt parallel.
c) Welcher Fall bleibt noch und was ist dann los?
Alternativ kann man sich auch das Leben ein wenig schwerer machen:
Die Ebene [mm] $E_1$ [/mm] hat ja zwei Spannvektoren, ebenso die Ebene [mm] $E_2\,$ [/mm] -
und wenn ich von "den Spannvektoren" rede, meine ich die aus obiger
Darstellung (denn prinzipiell gibt's viel mehr Vektor-Paare, die eine Ebene
aufspannen!).
Sei [mm] $v_1:=v_{E_1}$ [/mm] der eine Spannvektor der obigen Darstellung und
[mm] $w_1:=w_{E_1}$ [/mm] der andere - es sollte nun klar sein, was [mm] $v_2\,$ [/mm] und
[mm] $w_2$ [/mm] wohl bedeuten sollen!
Dann kann man prüfen: Ist [mm] $\{v_1,w_1,v_2\}$ [/mm] eine linear abhängige
Menge? Falls nein, dann weiß man... was?
Falls [mm] $\{v_1,w_1,v_2\}$ [/mm] schon als linear abhg. erkannt wurde, dann
guckt man:
Ist auch [mm] $\{v_1,w_1,w_2\}$ [/mm] eine linear abhängige Menge? Falls ja, dann
weiß man was? (Falls nein: Dann weiß man was?)
Und das kannst Du nun auch zu Ende denken, hoffe ich. Tipp:
Überlege Dir mal, wenn Du zwei Ebenen im Raum hast, und die beide so
verschiebst, dass die verschobenen Ebenen dann die [mm] $(0,0,0)^T \in \IR^3$ [/mm]
enthalten, was passiert dann mit (nicht notwendigerweise echt)
parallelen Ebenen, und was passiert mit Ebenen, deren Schnitt "nur" eine
Gerade des Raumes ist?
Wenn Du dann die "Spannvektoren einer Parameter-Darstellung" Dir auch
zum Nullpunkt verschoben denkst, verstehst Du auch sicher eher die
Ideen bei der alternativen Vorgehensweise!
Gruß,
Marcel
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