Bestimmung Gerade/Ebene < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
| Aufgabe | Ebene und Gerade werden durch folgende Angaben festgelegt.
Gerade g steht senkrecht auf Ebene E und geht durch den Ursprung des Koordinatensystems.
Die Ebene E schneidet die Koordinatenachsen bei x=2, y=3 und z=1.
Bestimmen Sie die Gleichungen von E und g in vektorieller Form! |
Kann mir jemand erklären wie ich das machen soll? Hab überhaupt keine Plan wie ich das anstellen soll.
Vielen Dank schonmal in voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Mo 23.06.2008 | | Autor: | wauwau |
Also folgende Punkte liegen auf der Ebene:
A(2/0/0), B(0/3/0) C(0/0/1)
daher sind zwei richtungsvektoren der Ebene gegeben durch
[mm] \vec{AB}=\vektor{-2 \\ 3 \\0} [/mm] und [mm] \vec{AC}=\vektor{-2 \\ 0 \\1} [/mm]
daher lautet die Ebenen gleichung in vektordarstellung
[mm] \vec{x}=\vektor{2\\ 0 \\0}+\lambda.\vektor{-2 \\ 3 \\0}+\mu.\vektor{-2 \\ 0 \\1} [/mm]
jetzt brauchst du den Normalvektor auf beide Richtungsvektoren (mit der bekannten Determinantenmethode) also
[mm] \vektor{3\\-2\\6} [/mm] und damit die gerade
[mm] \vec{y} [/mm] = [mm] \nu.\vektor{3\\-2\\6}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Müsste da nicht folgende Ebenengleichung rauskommen?
[mm] \vec{x}=\vektor{-2\\ 0 \\0}+\lambda.\vektor{-2 \\ 3 \\0}+\mu.\vektor{-2 \\ 0 \\1} [/mm] ?
Wie genau berechnet man denn jetzt die Geradegleichung?
Hab ich nicht ganz verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Mo 23.06.2008 | | Autor: | djmatey |
> Müsste da nicht folgende Ebenengleichung rauskommen?
> [mm]\vec{x}=\vektor{-2\\ 0 \\0}+\lambda.\vektor{-2 \\ 3 \\0}+\mu.\vektor{-2 \\ 0 \\1}[/mm]
> ?
Nein, Woher kommt bei Dir im Stützvektor das Minus? Der Stützvektor bescheibt einfach einen Punkt der Ebene, um die Lage der Ebene eindeutig zu machen. Da der Punkt (2,0,0) gegeben ist, nimmt man einfach den. Man könnte auch einen der anderen beiden gegebenen Punkte als Stützvektor nehmen.
>
> Wie genau berechnet man denn jetzt die Geradegleichung?
> Hab ich nicht ganz verstanden.
Die Gerade verläuft durch den Ursprung, d.h. ihr Stützvektor lautet (0,0,0), den kann man also auch weglassen bzw. man muss ihn nicht explizit hinschreiben. Nun brauchst Du als Richtungsvektor noch einen Vektor, der senkrecht auf beiden Richtungsvektoren der Ebene steht (denn die Gerade soll ja senkrecht zur Ebene sein). Einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren steht, findest Du z.B. mit Hilfe des Kreuzproduktes der beiden Vektoren.
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ok den ersten Teil hab ich verstanden.
Nun zum Zweiten:
Muss ich zur Berechnung des Kreuzprodukts die Vektoren [mm] \vektor{2\\ 0 \\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\ 0 \\0} [/mm] für nehmen oder andere?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Mo 23.06.2008 | | Autor: | wauwau |
du musst die Richtungsvektoren der Ebene nehmen!!! nicht die Punkte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Achso!
Ok ich hab dann raus: [mm] \vektor{3\\ 2 \\6}
[/mm]
Ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mo 23.06.2008 | | Autor: | wauwau |
vorzeichen!!
[mm]\vektor{3\\ -2 \\6}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ja stimmt.
Hab nun noch das Problem, dass ich den Schnittpunkt mit der Geraden
h: [mm] \vec{x}=\vektor{4 \\ -4 \\ -3}+\lambda*\vektor{1 \\ -2 \\ 3} [/mm] berechnen muss. Weißt du wie man das macht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mo 23.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
Schnittpunkte berechnet man, indem man die beiden Vorschriften gleichsetzt und entsprechend auflöst, d.h. so die Parameter errechnet und diese danach wieder in die Vorschrift einsetzt, um den konkreten Schnittpunkt zu erhalten.
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Sry die Frage war unpräzise formuliert.
Ich habe die Vorschriften gleichgestzt aber es kommt nur Mist raus.
Hoffe du kannst mir nochmal helfen.
[mm] \lambda_{1}*\vektor{3 \\ -2 \\ 6}=\vektor{4 \\ -4 \\ -3}+\lambda_{2}*\vektor{1 \\ -2 \\ 3}
[/mm]
Hab dann folgende Gleichungen:
[mm] 3*\lambda_{1}=4+1*\lambda_{2}
[/mm]
[mm] -2*\lambda_{1}=-4-2*\lambda_{2}
[/mm]
[mm] 6*\lambda_{1}=-3+3*\lambda_{2}
[/mm]
Hab dann umgestellt:
[mm] 3*\lambda_{1}-\lambda_{2}=4
[/mm]
[mm] -2*\lambda_{1}+2*\lambda_{2}=-4
[/mm]
[mm] 6*\lambda_{1}-3*\lambda_{2}=-3
[/mm]
Und ab hier kam ich nicht mehr weiter, weil nur noch mist rauskam.
Könntest du mir wohl erklären wie jetzt weiter rechnen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mo 23.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
das ist soweit richtig.
(SPÄTER HINZUGEFÜGT: Das Gleichungssystem stimmt nicht ganz, weil weiter oben in der Diskussion schon ein Fehler enthalten war.)
Löse nun die erste Gleichung nach [mm] \lambda_{1} [/mm] auf, setze dieses in die zweite Gleichung ein und löse nach [mm] \lambda_{2} [/mm] auf. Du erhältst für [mm] \lambda_{2} [/mm] hier eine konkrete Zahl, die Du dann wieder in die erste Gleichung einsetzen kannst, um [mm] \lambda_{1} [/mm] zu erhalten.
Denke dran, dass alle drei Gleichungen erfüllt sein müssen, d.h. Du musst [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] jetzt noch in die dritte Gleichung einsetzen, um zu schauen, ob diese dann erfüllt ist.
LG djmatey
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:10 Mo 23.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Nein, der Normalenvektor lautet hier (3,2,6).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mo 23.06.2008 | | Autor: | weduwe |
> Achso!
> Ok ich hab dann raus: [mm]\vektor{3\\ 2 \\6}[/mm]
> Ist das richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") da liegst du richtig.
damit hast du die ebene:
[mm]3x+2y+6z=d[/mm]
P(2/0/0) einsetzen ergibt:
[mm]E: 3x+2y+6z=6[/mm]
und da g senkrecht auf E und durch O geht, kannst du sofort hinmalen:
[mm] \vec{x}=t\vektor{3\\2\\6}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Wieso geht g denn durch 0?
Und wieso bekommst du den Vektor [mm] \vektor{3\\ 2 \\6} [/mm] heraus und nicht
[mm] \vektor{3\\ -2 \\6}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mo 23.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
der (bzw. ein) Normalenvektor lautet hier (3,2,6), denn es muss, jeweils mit einem Richtungsvektor multipliziert, 0 herauskommen.
Die ansonsten beschriebene Vorgehensweise ist trotzdem dieselbe.
Ich kriege raus, dass die Geraden sich nicht schneiden, weil das LGS nicht lösbar ist. Die Richtungsvektoren sind auch nicht linear abhängig, d.h. die Geraden sind windschief.
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Das klingt gut. Hab ich nämlich auch raus.
Vielen Dank für die Hilfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Mo 23.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Immer wieder gerne! =)
LG djmatey
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