Bestimmung Fundamentalsystem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Di 08.04.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | Man bestimme ein Fundamentalsystem [mm] (\phi_{1}, \phi_{2}, \phi_{3}) [/mm] von Lösungen des Differentialsystems
y' = [mm] \pmat{\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda } [/mm] y
[mm] (\lambda \in [/mm] C) mit der Anfangsbedingung [mm] \phi_{k}= e_{k} [/mm] für k= 1,2,3, wobei [mm] (e_{1}, e_{2}, e_{3}) [/mm] die kanonische Basis des [mm] C^{3} [/mm] bezeichne. |
Hallo liebe Mathefreunde,
bei dieser Aufgabe komme ich irgendwie nicht weiter. Ich habe die charakteristische Gleichung aufgestellt und die Eigenwerte bestimmt. Dabei kam raus, dass x= [mm] \lambda [/mm] ein dreifacher Eigenwert ist.
Hiermit habe ich dann versucht die Eigenvektoren zu bestimmen ... aber irgendwie komme ich nicht weiter.
Die Kombination der Eigenvektoren mit [mm] e^{\lambda x} [/mm] ergibt doch dann das Fundamentalsystem oder???
Könnt ihr mir hier weiterhelfen?!?
Liebe Grüße
und vielen Dank im Voraus
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Man bestimme ein Fundamentalsystem [mm](\phi_{1}, \phi_{2}, \phi_{3})[/mm]
> von Lösungen des Differentialsystems
> y' = [mm]\pmat{\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda }[/mm]
> y
> [mm](\lambda \in[/mm] C) mit der Anfangsbedingung [mm]\phi_{k}= e_{k}[/mm]
> für k= 1,2,3, wobei [mm](e_{1}, e_{2}, e_{3})[/mm] die kanonische
> Basis des [mm]C^{3}[/mm] bezeichne.
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> bei dieser Aufgabe komme ich irgendwie nicht weiter. Ich
> habe die charakteristische Gleichung aufgestellt und die
> Eigenwerte bestimmt. Dabei kam raus, dass x= [mm]\lambda[/mm] ein
> dreifacher Eigenwert ist.
> Hiermit habe ich dann versucht die Eigenvektoren zu
> bestimmen ... aber irgendwie komme ich nicht weiter.
> Die Kombination der Eigenvektoren mit [mm]e^{\lambda x}[/mm] ergibt
> doch dann das Fundamentalsystem oder???
>
> Könnt ihr mir hier weiterhelfen?!?
Das muss man anders machen:
[mm]\pmat{\phi_{1} \\ \phi_{2} \\ \phi_{3}}'=\pmat{\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda }*\pmat{\phi_{1} \\ \phi_{2} \\ \phi_{3}}[/mm]
Das läst sich so schreiben:
[mm]\phi_{3}'=\lambda*\phi_{3} \ \left(1\right)[/mm]
[mm]\phi_{2}'=\lambda*\phi_{2}+\phi_{3} \ \left(2\right)[/mm]
[mm]\phi_{1}'=\lambda*\phi_{1}+\phi_{2} \ \left(3\right)[/mm]
Löse deshalb zuerst Gleichung (1), dann Gleichung(2) und
schliesslich Gleichung (3).
>
> Liebe Grüße
> und vielen Dank im Voraus
> Kittycat
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Di 08.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo MathePower,
> Das muss man anders machen:
>
> [mm]\pmat{\phi_{1} \\ \phi_{2} \\ \phi_{3}}'=\pmat{\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda }*\pmat{\phi_{1} \\ \phi_{2} \\ \phi_{3}}[/mm]
>
> Das läst sich so schreiben:
>
> [mm]\phi_{3}'=\lambda*\phi_{3} \ \left(1\right)[/mm]
>
> [mm]\phi_{2}'=\lambda*\phi_{2}+\phi_{3} \ \left(2\right)[/mm]
>
> [mm]\phi_{1}'=\lambda*\phi_{1}+\phi_{2} \ \left(3\right)[/mm]
>
> Löse deshalb zuerst Gleichung (1), dann Gleichung(2) und
> schliesslich Gleichung (3).
Ich muss also die Gleichung einfach lösen?!?
Hab das nochmal im Skript nachgeschlagen ... stimmt das jetzt so?
y' = [mm] \pmat{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}'=\pmat{\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda }*y
[/mm]
1.Gleichung:
[mm] \lambda y_{3}= y_{3}' \Rightarrow y_{3}= e^{\lambda t}
[/mm]
2.Gleichung:
[mm] y_{2}' [/mm] = [mm] \lambda*y_{2} [/mm] + [mm] y_{3}
[/mm]
...
[mm] \Rightarrow y_{2}=t e^{\lambda t}
[/mm]
3.Gleichung:
[mm] y_{1}' [/mm] = [mm] \lambda*y_{1} [/mm] + [mm] y_{2}
[/mm]
...
[mm] \Rightarrow y_{1}=\bruch{1}{2}*t^{2} e^{\lambda t}
[/mm]
Und jetzt muss ich irgendwie das System zusammenstellen. Ich denke ich weiß jetzt wie das aussehen soll (habs im Skript gefunden), aber wie ich darauf komme und ob das alles ist, was ich bei dieser Aufgabe machen muss, no idea?!?
Kannst du mir das vielleicht mal erklären wie ich jetzt auf folgendes Fundamentalsystem komme?
Fundamentalsystem:
[mm] \phi(t)=\pmat{ e^{\lambda t} & t e^{\lambda t} & \bruch{1}{2}*t^{2} e^{\lambda t} \\ 0 & e^{\lambda t} & t e^{\lambda t} \\ 0 & 0 & e^{\lambda t}}
[/mm]
ist meine Anfangsbedingung somit auch erfüllt?
Muss ich dann noch etwas aufschreiben?
:-/ sorry, das waren jetzt soviele Fragen [mm] :-\
[/mm]
Liebe Grüße
Katharina
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Hallo kittycat,
> Hallo MathePower,
>
> > Das muss man anders machen:
> >
> > [mm]\pmat{\phi_{1} \\ \phi_{2} \\ \phi_{3}}'=\pmat{\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda }*\pmat{\phi_{1} \\ \phi_{2} \\ \phi_{3}}[/mm]
>
> >
> > Das läst sich so schreiben:
> >
> > [mm]\phi_{3}'=\lambda*\phi_{3} \ \left(1\right)[/mm]
> >
> > [mm]\phi_{2}'=\lambda*\phi_{2}+\phi_{3} \ \left(2\right)[/mm]
> >
> > [mm]\phi_{1}'=\lambda*\phi_{1}+\phi_{2} \ \left(3\right)[/mm]
> >
> > Löse deshalb zuerst Gleichung (1), dann Gleichung(2) und
> > schliesslich Gleichung (3).
>
>
> Ich muss also die Gleichung einfach lösen?!?
Ja.
> Hab das nochmal im Skript nachgeschlagen ... stimmt das
> jetzt so?
>
>
> y' = [mm]\pmat{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}'=\pmat{\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda }*y[/mm]
>
> 1.Gleichung:
> [mm]\lambda y_{3}= y_{3}' \Rightarrow y_{3}= e^{\lambda t}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2.Gleichung:
> [mm]y_{2}'[/mm] = [mm]\lambda*y_{2}[/mm] + [mm]y_{3}[/mm]
> ...
> [mm]\Rightarrow y_{2}=t e^{\lambda t}[/mm]
Das ist nur die Lösung der inhomogenen DGL.
>
> 3.Gleichung:
> [mm]y_{1}'[/mm] = [mm]\lambda*y_{1}[/mm] + [mm]y_{2}[/mm]
> ...
> [mm]\Rightarrow y_{1}=\bruch{1}{2}*t^{2} e^{\lambda t}[/mm]
Auch hier: Das ist nur die Lösung der inhomogenen DGL.
>
> Und jetzt muss ich irgendwie das System zusammenstellen.
> Ich denke ich weiß jetzt wie das aussehen soll (habs im
> Skript gefunden), aber wie ich darauf komme und ob das
> alles ist, was ich bei dieser Aufgabe machen muss, no
> idea?!?
Das ist schon alles.
> Kannst du mir das vielleicht mal erklären wie ich jetzt
> auf folgendes Fundamentalsystem komme?
>
> Fundamentalsystem:
>
> [mm]\phi(t)=\pmat{ e^{\lambda t} & t e^{\lambda t} & \bruch{1}{2}*t^{2} e^{\lambda t} \\ 0 & e^{\lambda t} & t e^{\lambda t} \\ 0 & 0 & e^{\lambda t}}[/mm]
>
> ist meine Anfangsbedingung somit auch erfüllt?
Wenn die DGL's korrekt gelöst hast, kommt das auch raus.
>
> Muss ich dann noch etwas aufschreiben?
Nein
>
> :-/ sorry, das waren jetzt soviele Fragen [mm]:-\[/mm]
>
> Liebe Grüße
> Katharina
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 08.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo MathePower,
> > y' = [mm]\pmat{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}'=\pmat{\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda }*y[/mm]
>
> > 1.Gleichung:
> > [mm]\lambda y_{3}= y_{3}' \Rightarrow y_{3}= e^{\lambda t}[/mm]
>
> > 2.Gleichung:
> > [mm]y_{2}'[/mm] = [mm]\lambda*y_{2}[/mm] + [mm]y_{3}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow y_{2}=t e^{\lambda t}[/mm]
>
> Das ist nur die Lösung der inhomogenen DGL.
>
> > 3.Gleichung:
> > [mm]y_{1}'[/mm] = [mm]\lambda*y_{1}[/mm] + [mm]y_{2}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow y_{1}=\bruch{1}{2}*t^{2} e^{\lambda t}[/mm]
>
> Auch hier: Das ist nur die Lösung der inhomogenen DGL.
Was heißt das dann? Ist das nicht die Lösung von der Gleichung. Wie soll ich die Gleichung denn anders auflösen? *help, I have no idea*
> > Fundamentalsystem:
> >
> > [mm]\phi(t)=\pmat{ e^{\lambda t} & t e^{\lambda t} & \bruch{1}{2}*t^{2} e^{\lambda t} \\ 0 & e^{\lambda t} & t e^{\lambda t} \\ 0 & 0 & e^{\lambda t}}[/mm]
>
> Wenn die DGL's korrekt gelöst hast, kommt das auch raus.
Das heißt also ich habe die DGL's nicht richtig gelöst?!? Wie soll ich sie denn anders lösen? Und wie genau komme ich denn dann auf das Fundamentalsystem (dazu habe ich zwar die Lösung, aber verstehen tue ich es nicht) Könntest du es mir vielleicht erklären??? *please*
Gruß
Kittycat
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Hallo kittycat,
> > > Fundamentalsystem:
> > >
> > > [mm]\phi(t)=\pmat{ e^{\lambda t} & t e^{\lambda t} & \bruch{1}{2}*t^{2} e^{\lambda t} \\ 0 & e^{\lambda t} & t e^{\lambda t} \\ 0 & 0 & e^{\lambda t}}[/mm]
>
> >
> > Wenn die DGL's korrekt gelöst hast, kommt das auch raus.
>
> Das heißt also ich habe die DGL's nicht richtig gelöst?!?
> Wie soll ich sie denn anders lösen? Und wie genau komme ich
> denn dann auf das Fundamentalsystem (dazu habe ich zwar die
> Lösung, aber verstehen tue ich es nicht) Könntest du es mir
> vielleicht erklären??? *please*
Wir haben also die folgende Gleichungen:
[mm] \phi_{3}'=\lambda\cdot{}\phi_{3} \ \left(1\right) [/mm]
[mm] \phi_{2}'=\lambda\cdot{}\phi_{2}+\phi_{3} \ \left(2\right) [/mm]
[mm] \phi_{1}'=\lambda\cdot{}\phi_{1}+\phi_{2} \ \left(3\right) [/mm]
Gleichung (3):
[mm] \phi_{3}'=\lambda\cdot{}\phi_{3} \ \left(1\right) [/mm]
Hieraus folgt unmittelbar die Lösung [mm]\phi_{3}\left(t\right) = C_{3}*e^{\lambda*t}[/mm]
Gleichung (2):
[mm] \phi_{2}'=\lambda\cdot{}\phi_{2}+\phi_{3} \ \left(2\right) [/mm]
Die homogene DGL ergibt sich hier zu:
[mm] \phi_{2}'=\lambda\cdot{}\phi_{2} [/mm]
Hier ist wiederum die Lösung [mm]\phi_{2}\left(t\right) = C_{2}*e^{\lambda*t}[/mm]
Um jetzt die Lösung der inhomogenen DGL zu bestimmen, macht man [mm]C_{2}[/mm] auch von t abhängig:
Ansatz ist demnach: [mm]\phi_{2}\left(t\right) = C_{2}\left(t\right)*e^{\lambda*t}[/mm]
[mm]\Rightarrow \phi'_{2}\left(t\right) = C_{2}'\left(t\right)*e^{\lambda*t}+\lambda*C_{2}\left(t\right)*e^{\lambda*t}[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm] C_{2}'\left(t\right)*e^{\lambda*t}+\lambda*C_{2}\left(t\right)*e^{\lambda*t}=\lambda*C_{2}\left(t\right)*e^{\lambda*t}+C_{3}*e^{\lambda*t}[/mm]
[mm]\gdw C_{2}'\left(t\right)*e^{\lambda*t}=C_{3}*e^{\lambda*t}[/mm]
[mm]\gdw C_{2}'\left(t\right)=C_{3}*e^{\lambda*t}*e^{-\lambda*t}[/mm]
[mm]\gdw C_{2}'\left(t\right)=C_{3}[/mm]
[mm]\Rightarrow C_{2}\left(t\right) = C_{3}*t+\tilde{C_{2}}[/mm]
[mm]\Rightarrow \phi_{2}\left(t\right)=\left(C_{3}*t+\tilde{C_{2}}\right)*e^{\lambda*t}[/mm]
Dieses Verfahren nennt man ![[]](/images/popup.gif) Variation der Konstanten.
Jetzt versuch mal die Lösung der 3. Gleichung selbst zu bestimmen.
>
> Gruß
> Kittycat
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Di 08.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo MathePower,
vielen, vielen lieben Dank für deine Hilfe und das schnelle Antworten ... ich glaube so langsam verstehe ich das. (Danke auch für deinen Link ... hab mir die Sachen schon ein paar mal angeschaut, aber irgendwie ist es zu theoretisch für mich :-( )
Also ich habe jetzt die dritte Gleichung so aufgelöst:
(3) [mm] \phi_{1}' [/mm] = [mm] \lambda \phi_{1} [/mm] + [mm] \phi_{2}
[/mm]
homogene DGL : [mm] \phi_{1}' [/mm] = [mm] \lambda \phi_{1} [/mm]
[mm] \Rightarrow \phi_{1}(t) [/mm] = [mm] C_{1} e^{\lambda t}
[/mm]
inhomogene DGL : [mm] (C_{1} [/mm] von t abhängig)
[mm] \phi_{1}(t) [/mm] = [mm] C_{1}(t) e^{\lambda t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi_{1}' [/mm] (t) = [mm] C_{1}'(t) e^{\lambda t} [/mm] + [mm] \lambda C_{1}(t) e^{\lambda t}
[/mm]
[mm] C_{1}'(t) e^{\lambda t} [/mm] + [mm] \lambda C_{1}(t) e^{\lambda t} [/mm] = [mm] \lambda C_{1}(t) e^{\lambda t} [/mm] + [mm] (C_{3} [/mm] + [mm] C_{2})e^{\lambda t}
[/mm]
[mm] C_{1}'(t) e^{\lambda t} [/mm] = [mm] (C_{3} [/mm] + [mm] C_{2})e^{\lambda t}
[/mm]
[mm] C_{1}'(t) [/mm] = [mm] (C_{3} [/mm] + [mm] C_{2})e^{\lambda t} e^{-\lambda t} [/mm] = [mm] (C_{3} [/mm] + [mm] C_{2})
[/mm]
[mm] C_{1}(t) [/mm] = [mm] C_{3} \bruch{1}{2} [/mm] t² + [mm] C_{2} [/mm] + [mm] C_{1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi_{1}(t)=(C_{3} \bruch{1}{2} [/mm] t² + [mm] C_{2} [/mm] + [mm] C_{1})e^{\lambda t}
[/mm]
Stimmt das so?
Und wie stelle ich jetzt das Fundamentalsystem zusammen? Fange ich mit [mm] \phi_{3} [/mm] an und schreibe sie hintereinander? Und dann wenn ich die Anfangsbedingung einsetzte, erhalte ich ja dann die Einheitsvektoren, also die kanonische Basis.
Gruß
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo MathePower,
>
> vielen, vielen lieben Dank für deine Hilfe und das schnelle
> Antworten ... ich glaube so langsam verstehe ich das.
> (Danke auch für deinen Link ... hab mir die Sachen schon
> ein paar mal angeschaut, aber irgendwie ist es zu
> theoretisch für mich :-( )
>
> Also ich habe jetzt die dritte Gleichung so aufgelöst:
>
> (3) [mm]\phi_{1}'[/mm] = [mm]\lambda \phi_{1}[/mm] + [mm]\phi_{2}[/mm]
>
> homogene DGL : [mm]\phi_{1}'[/mm] = [mm]\lambda \phi_{1}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \phi_{1}(t)[/mm] = [mm]C_{1} e^{\lambda t}[/mm]
>
> inhomogene DGL : [mm](C_{1}[/mm] von t abhängig)
> [mm]\phi_{1}(t)[/mm] = [mm]C_{1}(t) e^{\lambda t}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \phi_{1}'[/mm]
> (t) = [mm]C_{1}'(t) e^{\lambda t}[/mm] + [mm]\lambda C_{1}(t) e^{\lambda t}[/mm]
>
> [mm]C_{1}'(t) e^{\lambda t}[/mm] + [mm]\lambda C_{1}(t) e^{\lambda t}[/mm] =
> [mm]\lambda C_{1}(t) e^{\lambda t}[/mm] + [mm](C_{3}[/mm] + [mm]C_{2})e^{\lambda t}[/mm]
[mm]C_{1}'(t) e^{\lambda t} + \lambda C_{1}(t) e^{\lambda t} = \lambda C_{1}(t) e^{\lambda t} + (C_{3} * \red{t}+ C_{2})e^{\lambda t}[/mm]
>
> [mm]C_{1}'(t) e^{\lambda t}[/mm] = [mm](C_{3}[/mm] + [mm]C_{2})e^{\lambda t}[/mm]
[mm]C_{1}'(t) e^{\lambda t} = (C_{3}*\red{t} + C_{2})e^{\lambda t}[/mm]
>
> [mm]C_{1}'(t)[/mm] = [mm](C_{3}[/mm] + [mm]C_{2})e^{\lambda t} e^{-\lambda t}[/mm] =
> [mm](C_{3}[/mm] + [mm]C_{2})[/mm]
[mm]C_{1}'(t) = (C_{3} *\red{t}+ C_{2})e^{\lambda t} e^{-\lambda t}=C_{3} *\red{t}+ C_{2}[/mm]
> [mm](C_{3}[/mm] + [mm]C_{2})[/mm]
>
> [mm]C_{1}(t)[/mm] = [mm]C_{3} \bruch{1}{2}[/mm] t² + [mm]C_{2}[/mm] + [mm]C_{1}[/mm]
[mm]C_{1}(t)= C_{3} \bruch{1}{2} t² + C_{2}*\red{t} + \tilde{C_{1}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \phi_{1}(t)=(C_{3} \bruch{1}{2}[/mm] t² + [mm]C_{2}[/mm] +
> [mm]C_{1})e^{\lambda t}[/mm]
[mm]\Rightarrow \phi_{1}(t)=(C_{3} \bruch{1}{2} t² + C_{2}*\red{t}+\tilde{C_{1}})e^{\lambda t}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Jetzt ja.
Im Eifer des Gefechts vergaß ich, daß [mm]\phi_{k}\left(t\right)[/mm] eine vektorwertige Funktion ist. Das ändert aber an der Lösung nichts.
>
> Und wie stelle ich jetzt das Fundamentalsystem zusammen?
> Fange ich mit [mm]\phi_{3}[/mm] an und schreibe sie hintereinander?
[mm]\phi\left(t\right)= \pmat{\tilde{C_{1}}*e^{\lambda*t}+C_{2}*t*e^{\lambda*t}+C_{3}*\bruch{1}{2}*t^{2}*e^{\lambda*t} \\ C_{2}*e^{\lambda*t}+C_{3}*t*e^{\lambda*t} \\ C_{3}*e^{\lambda*t} }[/mm]
[mm]=\tilde{C_{1}}*\pmat{e^{\lambda*t} \\ 0 \\ 0} + C_{2} * \pmat{t*e^{\lambda*t} \\ e^{\lambda*t} \\ 0}+C_{3}*\pmat{\bruch{1}{2}*t^{2}*e^{\lambda*t} \\ t*e^{\lambda*t} \\ e^{\lambda*t}}[/mm]
[mm]=\pmat{e^{\lambda*t} & t*e^{\lambda*t} & \bruch{1}{2}*t^{2}*e^{\lamba*t} \\ 0 & e^{\lambda*t} & t*e^{\lambda*t} \\ 0 & 0 & e^{\lambda*t}}*\pmat{\tilde{C_{1}} \\ C_{2} \\ C_{3} }[/mm]
> Und dann wenn ich die Anfangsbedingung einsetzte, erhalte
> ich ja dann die Einheitsvektoren, also die kanonische
> Basis.
Die Anfangsbedingung dient ja nur dazu, um die Konstanten herauszubekommen.
Das läuft ja dann darauf hinaus, daß [mm]\tilde{C_{1}}=C_{2}=C_{3}=1[/mm] ist.
>
> Gruß
> Kittycat
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:14 Mi 09.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Guten Morgen MathePower,
Vielen, vielen lieben Dank für die Erklärungen und die Antworten.
Jetzt hab ich es vollkommen verstanden .-) (yeah!!!)
Liebe Grüße
Kittycat
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