Bestimmung Einheitsvektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Vektoren a=(0,1,-2) und b=(2,1,-2) spannen eine Ebene auf. Bestimmen Sie alle Einheitsvektoren (Vektoren der Länge 1) in dieser Ebene, die auf dem Vektor c=(2,0,-1) senkrecht stehen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mir fehlt jeglicher Ansatz. Ich weiß das ich den Normalvektor zu a und b berechnen kann. Liegt denn Vektor c auf der gespannten Ebene von a und b? Und wenn ja, wie finde ich denn nun die Einheitsvektoren heraus die senkrecht (orthogonal) auf c liegen. Die Vektoren müssen ja nicht direkt Einheitsvektoren sein. Ich kann diese ja zu Einheitsvektoren machen in dem ich ihren Betrag nochmal durch den Betrag teile. Und ich denke das auch die negierten Einheitsvektoren gemeint sind, da sie ja auch senkrecht zu c stehen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Sa 19.12.2015 | | Autor: | chrisno |
> Die Vektoren a=(0,1,-2) und b=(2,1,-2) spannen eine Ebene
> auf. Bestimmen Sie alle Einheitsvektoren (Vektoren der
> Länge 1) in dieser Ebene, die auf dem Vektor c=(2,0,-1)
> senkrecht stehen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Mir fehlt jeglicher Ansatz. Ich weiß das ich den
> Normalvektor zu a und b berechnen kann.
Das scheint aber erst einmal nicht interessant zu sein, da ja nicht ein Vektor gefragt ist, der senkrecht zur Eben steht.
> Liegt denn Vektor c
> auf der gespannten Ebene von a und b?
Das kannst Du selbst herausfinden. ist c als Linearkombination von a und b darstellbar?
> Und wenn ja, wie
> finde ich denn nun die Einheitsvektoren heraus die
> senkrecht (orthogonal) auf c liegen.
Egal ob ja oder nein, für den Test auf senkrecht oder nicht bietet sich das Skalarprodukt an.
> Die Vektoren müssen
> ja nicht direkt Einheitsvektoren sein. Ich kann diese ja zu
> Einheitsvektoren machen in dem ich ihren Betrag nochmal
> durch den Betrag teile.
Du meinst: indem sich sie durch ihren Betrag teile.
> Und ich denke das auch die
> negierten Einheitsvektoren gemeint sind, da sie ja auch
> senkrecht zu c stehen.
Du meinst: wenn d eine Lösung ist, dann ist auch -d eine Lösung.
Also leg mal los:
- Wie schreibt man irgendeinen (jeden beliebigen) Vektor der Ebene hin?
- Der gesuchte Vektor ist einer von diesen, den erkennt man daran, dass er skalar multipliziert mit c was ergibt?
- dann noch auf die Länge 1 stauchen
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Da ich c nicht in Linearkombination von a und b darstellen kann, würde ich sagen, dass c nicht auf der Ebene liegt. Ist das korrekt?
Wenn ich 0 für das Skalarprodukt zu c mit dem gesuchten Vektor z.B. g erhalten will, kann ich für g die Werte (1,1,2) einsetzen. Für gy merke ich jedoch, dass ich egal welchen Wert einsetzen kann. Vektor (1,2,2) oder (1,3,2) und aufwärts würde dann immer passen. Was sagt mir das jetzt genau?
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> Da ich c nicht in Linearkombination von a und b darstellen
> kann, würde ich sagen, dass c nicht auf der Ebene liegt.
> Ist das korrekt?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, das stimmt, ist aber für die Fragestellung gar nicht so wichtig.
>
> Wenn ich 0 für das Skalarprodukt zu c mit dem gesuchten
> Vektor z.B. g erhalten will, kann ich für g die Werte
> (1,1,2) einsetzen.
Ich bin skeptisch: es ist zwar [mm] \vektor{1\\1\\2}*\vektor{2\\0\\-1}=0,
[/mm]
aber der Vektor [mm] \vektor{1\\1\\2} [/mm] liegt doch gar nicht in der Ebene, um die es hier geht.
> Für gy merke ich jedoch,
Was ist y?
> dass ich egal
> welchen Wert einsetzen kann. Vektor (1,2,2) oder (1,3,2)
> und aufwärts würde dann immer passen. Was sagt mir das
> jetzt genau?
Es sagt Dir, daß alle Vektoren, die von der Gestalt [mm] \vektor{1\\a\\2} [/mm] sind, senkrecht zum Vektor c sind.
Du solltest, damit Dein Tun einen für Dich und andere nachvollziehbaren Ablauf bekommt, mal chrisnos Ratschläge zur Vorgehensweise beherzigen:
1.
Überlege Dir, wie die Vektoren der Ebene gemacht sind:
Es sind Linearkombinationen von a und b, also hat jeder Vektor x der Ebene die Gestalt
[mm] x=s*\vektor{0\\1\\-2}+t*\vektor{2\\1\\-2}
[/mm]
2.
Du suchst nun diejenigen Vektoren x, die senkrecht auf c stehen, für die also c*x=0 ist.
Das liefert Dir eine Gleichung mit den Variablen s und t, die zu lösen ist.
Die Lösung wird nicht eindeutig sein.
3.
Unter all den Vektoren, die Du ausgerechnest hast, suchst Du nun die mit Länge 1 heraus.
Wir können Dir besser helfen, wenn Du uns Deine Rechnungen vorstellst.
Dann sehen wir nämlich, ob es gravierende Denkfehler gibt, oder ob Du das Ziel nur wegen banaler Rechenfehler verfehlst.
LG Angela
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