Bestimmtes Integral < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie: [mm] $\integral_{0}^{\infty} {x^2 e^{-2x} dx}$ [/mm] |
u steht für unendlich
[mm] \integral_{0}^{u} {x^2 e^{-2x} dx} [/mm] davon der erste Schritt müsste sein = -1/2 e^-2x [mm] (x^2 [/mm] + x + 1/2) | 0 bis unendlich
Aber warum???
Wie gehe ich weiter vor?
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Hallo KlausFreitz,
> Berechnen Sie: [mm]\integral_{0}^{\infty} {x^2 e^{-2x} dx}[/mm]
Wenn man hier den Integranden ableitet, so erhält man:
[mm]\frac{\partial}{\partial x}x^2 e^{-2x} \mathop =^{\text{Produktregel}} 2xe^{-2x} -2x^2 e^{-2x} \gdw \int{\left(2xe^{-2x} -2x^2 e^{-2x}\right)\mathrm{d}x}[/mm]
[mm]= 2\int{xe^{-2x}\mathrm{d}x} - 2\int{x^2 e^{-2x}\mathrm{d}x} = x^2e^{-2x}[/mm]
Es gilt weiterhin:
[mm]\frac{\partial}{\partial x}xe^{-2x} = e^{-2x} -2xe^{-2x} \gdw \int{e^{-2x}\mathrm{d}x} -2\int{xe^{-2x}\mathrm{d}x} = xe^{-2x}[/mm]
Wegen
[mm]\frac{\partial}{\partial x}e^{-2x} = -2e^{-2x} \gdw -2\int{e^{-2x}\mathrm{d}x} = e^{-2x} \gdw \int{e^{-2x}\mathrm{d}x} = -\frac{1}{2}e^{-2x}[/mm]
erhalten wir nach dem Einsetzen:
[mm]2\int{xe^{-2x}\mathrm{d}x} = -\left(x+\frac{1}{2}\right)e^{-2x}[/mm]
Das wiederum setzen wir nun in unsere erste Gleichung ein:
[mm]\Rightarrow -\left(x+\frac{1}{2}\right)e^{-2x} - 2\int{x^2 e^{-2x}\mathrm{d}x} = x^2e^{-2x} \gdw - 2\int{x^2 e^{-2x}\mathrm{d}x}[/mm]
[mm]= x^2e^{-2x} + \left(x+\frac{1}{2}\right)e^{-2x} = \left(x^2 + x+\frac{1}{2}\right)e^{-2x} \gdw \int{x^2 e^{-2x}\mathrm{d}x} = -\frac{1}{2}\left(x^2 + x+\frac{1}{2}\right)e^{-2x} [/mm]
Jetzt bestimmen wir (wie du schon richtig bemerkt hast) das bestimmte Integral:
[mm]\int_0^u{x^2 e^{-2x}\mathrm{d}x} = -\frac{1}{2}\left(u^2 + u+\frac{1}{2}\right)e^{-2u}+\frac{1}{4} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\left(u^2+u+\frac{1}{2}\right)e^{-2u}\right)[/mm]
Es reicht den Grenzwert
[mm]\lim_{u\to\infty}{\left(u^2+u+\frac{1}{2}\right)e^{-2u}} = \lim_{u\to\infty}\frac{u^2+u+\frac{1}{2}}{e^{2u}}[/mm]
zu bestimmen.
Weil [mm]e^{2u}[/mm] schneller wächst als jedes ganzrationale Polynom erhalten wir oben eingesetzt:
[mm]\lim_{u\to\infty}{\int_0^u{x^2 e^{-2x}\mathrm{d}x}} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-0\right) = \frac{1}{4}[/mm]
Grüße
Karl
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Erstmal vielen Dank für den ausführlichen Teil, aber ich verstehe gerade mal überhaupt nichts. Hier ist die Lösung meines Dozenten, ich verstehe auch den unteren Teil, nur leider die erste Zeile nicht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also wie kommt er auf die Sachen die in den Klammern stehen? [mm] (x^2 [/mm] + x + ^/2)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo nochmal!
Also wenn ich dich recht verstehe, hast du bloß mit dieser Zeile Probleme:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier findet offenbar eine partielle Integration statt (bei der allerdings sämtliche Zwischenschritte ausgelassen wurden). Auf deiner eingescannten Mitschrift steht doch auch:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also wenden wir jetzt die partielle Integration nach dieser Formel an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt vereinfachst Du das Ganze und betrachtest den Grenzwert:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Jetzt habe ich es verstanden. Die Zwischenschritte hat mein Dozent mir nicht gesagt, ganz toll.. :)
Aber vielen herzlichen Dank für die Mühe, habe es nun endlich verstanden.. Die Klausur kann kommen.. ;)
BIG THANKS!!!
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