Bestimmen von Taylorpolynom < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Sa 07.06.2008 | | Autor: | skydyke |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Taylorpolynome:
a) das Taylorpolynom der Ordnung 3 von f(x,y)=sin(x+y) in (1,1).
b) das Taylorpolynom der Ordnung 2 von f(x,y,z)= [mm] \bruch{1}{x+y+z} [/mm] in (1,1,1) |
hi,
also ich hab das mal versucht zu rechnen und komme irgendwie nicht weiter.
zu a hab ich:
[mm] \partial_x [/mm] = cos(x+y)
[mm] \partial_x_x [/mm] = sin(x+y)
[mm] \partial_x_x\partial_y [/mm] = -cos(y+x)
und dann hab ich ja die Form:
[mm] T_3f(x,a)=\summe_{k=o}^{3} \bruch{1}{3!} d^3 [/mm] f(a)(x-a)
meine Frage ist, wie setzt ich das jetzt in die Formel ein?
zu b) hab ich:
[mm] \partial_x [/mm] = [mm] \bruch{-1}{(x+y+z)^2}
[/mm]
[mm] \partial_y [/mm] = [mm] \bruch{-1}{(y+x+z)^2}
[/mm]
[mm] \partial_z [/mm] = [mm] \bruch{-1}{(z+x+y)^2}
[/mm]
f(a)= [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
f'(a) = [mm] (\bruch{-1}{9}, \bruch{-1}{9}, \bruch{-1}{9})
[/mm]
Hf(a) = [mm] \pmat{ \bruch{2}{27} & \bruch{2}{27} & \bruch{2}{27} \\ \bruch{2}{27} & \bruch{2}{27} & \bruch{2}{27} \\ \bruch{2}{27} & \bruch{2}{27} & \bruch{2}{27} }
[/mm]
und dann hab ich die form:
[mm] T_2(x,a) [/mm] = f(a) + f'(a)(x-a) + [mm] \bruch{1}{2} (x-a)^t [/mm] *Hf(a)(x-a)
da hab ich mich mal dran versucht, ich würd gern wissen wie das richtig geht, denn ich glaub nicht das was ich habe richtig ist:
[mm] T_2(x,y,z)=\bruch{1}{3}- \bruch{1}{9} [/mm] (x-1) - [mm] \bruch{1}{9} [/mm] (y-1) - [mm] \bruch{1}{9} [/mm] (z-1) + [mm] \bruch{1}{2} ((x-1),(y-1),(z-1))*Hf(a)\vektor{x-1 \\ y-1 \\ z-1}
[/mm]
kann mir da einer weiter helfen? wär echt schön.
lg
sabrina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Sa 07.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
(Ich habe deinen Artikel verschoben, mit DGLen hat er ja wenig zu tun.)
> Bestimmen Sie die folgenden Taylorpolynome:
> a) das Taylorpolynom der Ordnung 3 von f(x,y)=sin(x+y) in
> (1,1).
> b) das Taylorpolynom der Ordnung 2 von f(x,y,z)=
> [mm]\bruch{1}{x+y+z}[/mm] in (1,1,1)
> hi,
>
> also ich hab das mal versucht zu rechnen und komme
> irgendwie nicht weiter.
> zu a hab ich:
> [mm]\partial_x[/mm] = cos(x+y)
> [mm]\partial_x_x[/mm] = sin(x+y)
> [mm]\partial_x_x\partial_y[/mm] = -cos(y+x)
Du musst für das Taylorpolynom 3. Ordnung alle partiellen Ableitungen bis zu ORdnugn 3 ausrechnen.
> und dann hab ich ja die Form:
> [mm]T_3f(x,a)=\summe_{k=o}^{3} \bruch{1}{3!} d^3[/mm] f(a)(x-a)
>
> meine Frage ist, wie setzt ich das jetzt in die Formel
> ein?
Siehe unten.
> zu b) hab ich:
> [mm]\partial_x[/mm] = [mm]\bruch{-1}{(x+y+z)^2}[/mm]
> [mm]\partial_y[/mm] = [mm]\bruch{-1}{(y+x+z)^2}[/mm]
> [mm]\partial_z[/mm] = [mm]\bruch{-1}{(z+x+y)^2}[/mm]
>
> f(a)= [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> f'(a) = [mm](\bruch{-1}{9}, \bruch{-1}{9}, \bruch{-1}{9})[/mm]
>
> Hf(a) = [mm]\pmat{ \bruch{2}{27} & \bruch{2}{27} & \bruch{2}{27} \\ \bruch{2}{27} & \bruch{2}{27} & \bruch{2}{27} \\ \bruch{2}{27} & \bruch{2}{27} & \bruch{2}{27} }[/mm]
>
> und dann hab ich die form:
> [mm]T_2(x,a) = f(a) + f'(a)(x-a) + \bruch{1}{2} (x-a)^t *Hf(a)(x-a)[/mm]
>
> da hab ich mich mal dran versucht, ich würd gern wissen wie
> das richtig geht, denn ich glaub nicht das was ich habe
> richtig ist:
>
> [mm]T_2(x,y,z)=\bruch{1}{3}- \bruch{1}{9} (x-1) - \bruch{1}{9} (y-1) - \bruch{1}{9} (z-1) + \bruch{1}{2} ((x-1),(y-1),(z-1))*Hf(a)\vektor{x-1 \\ y-1 \\ z-1}[/mm]
Das ist richtig, du kannst nur noch den letzten Term ausmultiplizieren.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Sa 07.06.2008 | | Autor: | skydyke |
hi,
danke erst mal für die hilfe. ich dachte
> > Bestimmen Sie die folgenden Taylorpolynome:
> > a) das Taylorpolynom der Ordnung 3 von f(x,y)=sin(x+y)
> in
> > (1,1).
> > b) das Taylorpolynom der Ordnung 2 von f(x,y,z)=
> > [mm]\bruch{1}{x+y+z}[/mm] in (1,1,1)
> > hi,
> >
> > also ich hab das mal versucht zu rechnen und komme
> > irgendwie nicht weiter.
> > zu a hab ich:
> > [mm]\partial_x[/mm] = cos(x+y)
> > [mm]\partial_x_x[/mm] = sin(x+y)
> > [mm]\partial_x_x\partial_y[/mm] = -cos(y+x)
>
> Du musst für das Taylorpolynom 3. Ordnung alle partiellen
> Ableitungen bis zu ORdnugn 3 ausrechnen.
>
ich dachte das wär schon die ordnung 3. welche ableitung muss ich denn noch machen?
lg
sabrina
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Hallo skydyke,
> hi,
>
> danke erst mal für die hilfe. ich dachte
>
>
> > > Bestimmen Sie die folgenden Taylorpolynome:
> > > a) das Taylorpolynom der Ordnung 3 von
> f(x,y)=sin(x+y)
> > in
> > > (1,1).
> > > b) das Taylorpolynom der Ordnung 2 von f(x,y,z)=
> > > [mm]\bruch{1}{x+y+z}[/mm] in (1,1,1)
> > > hi,
> > >
> > > also ich hab das mal versucht zu rechnen und komme
> > > irgendwie nicht weiter.
> > > zu a hab ich:
> > > [mm]\partial_x[/mm] = cos(x+y)
> > > [mm]\partial_x_x[/mm] = sin(x+y)
> > > [mm]\partial_x_x\partial_y[/mm] = -cos(y+x)
> >
> > Du musst für das Taylorpolynom 3. Ordnung alle partiellen
> > Ableitungen bis zu ORdnugn 3 ausrechnen.
> >
>
> ich dachte das wär schon die ordnung 3. welche ableitung
> muss ich denn noch machen?
Auszurechnen sind bei Teil a) die folgenden partiellen Ableitungen:
[mm]\bruch{\partial f\left(x,y\right) }{\partial x}=f_{x}\left(x,y\right), \ \bruch{\partial f\left(x,y\right) }{\partial y}=f_{y}\left(x,y\right)[/mm]
[mm]\bruch{\partial^{2} f\left(x,y\right) }{\partial x^{2}}=f_{xx}\left(x,y\right), \ \bruch{\partial^{2} f\left(x,y\right) }{\partial x \partial y}=f_{xy}\left(x,y\right),\ \bruch{\partial^{2} f\left(x,y\right) }{\partial y^{2}}=f_{yy}\left(x,y\right)[/mm]
[mm]\bruch{\partial^{3} f\left(x,y\right) }{\partial x^{3}}=f_{xxx}\left(x,y\right), \ \bruch{\partial^{3} f\left(x,y\right) }{\partial x^{2} \partial y}=f_{xxy}\left(x,y\right),\ \bruch{\partial^{3} f\left(x,y\right) }{\partial x \partial y^{2}}=f_{xyy}\left(x,y\right),\ \bruch{\partial^{3} f\left(x,y\right) }{\partial y^{3}}=f_{yyy}\left(x,y\right)[/mm]
Oder kürzer:
Für [mm]1 \le k \le 3[/mm] sind auszurechnen:
[mm]\bruch{\partial^{k} f\left(x,y\right)}{\partial x^{i} \partial y^{k-i}}, \ 0 \le i \le k[/mm]
>
> lg
> sabrina
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Sa 07.06.2008 | | Autor: | skydyke |
hi,
also was mach ich dann mit den partiellen ableitungen? die hab ich jetzt gemacht. nur wie muss ich jetzt weiter machen? Ich weiß ebend nicht wie ich die in die Taylorformel einsetzten soll...
lg
sabrina
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Hallo skydyke,
> hi,
>
> also was mach ich dann mit den partiellen ableitungen? die
> hab ich jetzt gemacht. nur wie muss ich jetzt weiter
> machen? Ich weiß ebend nicht wie ich die in die
> Taylorformel einsetzten soll...
Die Taylorformel lautet hier bei nur 2 Variablen:
[mm]T_{n}\left(x,y\right)=\summe_{i=0}^{n}\summe_{j=0}^{i}\bruch{1}{j!\left(i-j\right)!}{\left\bruch{\partial ^{i} f\left(x,y\right)}{\partial x^{j} \partial y^{i-j}}\right|_\left(x_{0}, y_{0}\right)} \left(x-x_{0}\right)^{j}*\left(y-y_{0}\right)^{i-j}[/mm]
Berechne demnach die Werte der berechneten partiellen Ableitungen an der Stelle [mm]\left(x_{0},y_{0}\right)[/mm], wobei [mm]\left(x_{0},y_{0}\right)[/mm] der Entwicklungspunkt ist.
>
> lg
> sabrina
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Sa 07.06.2008 | | Autor: | skydyke |
hi,
also ich hab für den entwicklungspunkt (1,1)
[mm] \partial_x [/mm] = [mm] \partial_y [/mm] = cos(2)
[mm] \partial_x_x [/mm] = [mm] \partial_x_y [/mm] = [mm] \partial_y_y [/mm] = -sin(2)
[mm] \partial_x_x_x [/mm] = [mm] \partial_x_x_y [/mm] = [mm] \partial_y_y_y [/mm] = -cos(2)
aber ich weiß nicht wie ich das in diese formel einsetzten soll, wir haben da diese Formel aus dem Skript:
[mm] T_n(x,y) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}d^k [/mm] f(a)(x-a)
ich versteh die Formel aber nicht und kann deswegen das was ich ausgerechnet hab nicht anwenden.
kann mir das jemand erklären?
lg
sabrina
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Hallo skydyke,
> hi,
>
> also ich hab für den entwicklungspunkt (1,1)
>
> [mm]\partial_x[/mm] = [mm]\partial_y[/mm] = cos(2)
> [mm]\partial_x_x[/mm] = [mm]\partial_x_y[/mm] = [mm]\partial_y_y[/mm] = -sin(2)
> [mm]\partial_x_x_x[/mm] = [mm]\partial_x_x_y[/mm] = [mm]\partial_y_y_y[/mm] =
> -cos(2)
>
> aber ich weiß nicht wie ich das in diese formel einsetzten
> soll, wir haben da diese Formel aus dem Skript:
>
> [mm]T_n(x,y)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}d^k[/mm] f(a)(x-a)
Muß das nicht so heißen:
[mm]T_n(x,y)= \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}d^k f(a)(x-a)^{k}[/mm]
>
> ich versteh die Formel aber nicht und kann deswegen das was
> ich ausgerechnet hab nicht anwenden.
>
> kann mir das jemand erklären?
Hier wurden offenbar Multiindices verwendet.
[mm]k=\left(k_{1}, \ k_{2}\right) \in \IN_{0}[/mm]
[mm]k!:=k_{1}!*k_{2}![/mm]
[mm]\vmat{k}=k_{1}+k_{2}[/mm]
[mm]a:=\left(x_{0}, \ y_{0}\right) \in \IR^{2}[/mm]
[mm]x:=\left(x, \ y\right) \in \IR^{2}[/mm]
sowie den partiellen Ableitungen
[mm]\bruch{\partial^{ \vmat{k} } f\left(x,y\right)}{\partial x^{k}}}:=\bruch{\partial^{ \vmat{k} } f\left(x,y\right)}{\partial x^{k_{1}} \partial y^{k_{2}}}}[/mm]
[mm]d^{k} f\left(a\right)=\left\bruch{\partial^{ \vmat{k} } f\left(x,y\right)}{\partial x^{k}}}\right|_{a}[/mm]
und den "Potenzen"
[mm]\left(x-a\right)^{k}:=\left(x-x_{0}\right)^{k_{1}}*\left(y-y_{0}\right)^{k_{2}}[/mm]
Dann gilt:
[mm]T_{n}\left(x,y\right)=\summe_{i=0}^{n}\summe_{\vmat{k}=i}^{}\bruch{1}{k!}*\left(x-a\right)^k *d^{k}f\left(a\right)[/mm]
Da es hier nur 2 abhängigen Variablen x,y gibt, kann man das auch so schreiben:
[mm]T_{n}\left(x,y\right)=\summe_{k=0}^{n}\summe_{k_{1}=0}^{k}\bruch{1}{k_{1}!*\left(k-k_{1}\right)!}*\left(x-x_{0}\right)^{k_{1}}*\left(y-y_{0}\right)^{k-k_{1}} *\left\bruch{\partial^{k} f\left(x,y\right)}{\partial x^{k_{1}} \partial y^{k-k_{1}}}\right|_\left(x_{0}, y_{0}\right)[/mm]
>
> lg
> sabrina
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 08.06.2008 | | Autor: | skydyke |
hi,
also ich versteh in der Formel den letzten Teil mit den partiellen Ableitungen nicht.
>
> Da es hier nur 2 abhängigen Variablen x,y gibt, kann man
> das auch so schreiben:
>
> [mm]T_{n}\left(x,y\right)=\summe_{k=0}^{n}\summe_{k_{1}=0}^{k}\bruch{1}{k_{1}!*\left(k-k_{1}\right)!}*\left(x-x_{0}\right)^{k_{1}}*\left(y-y_{0}\right)^{k-k_{1}} *\left\bruch{\partial^{k} f\left(x,y\right)}{\partial x^{k_{1}} \partial y^{k-k_{1}}}\right|_\left(x_{0}, y_{0}\right)[/mm]
>
> Gruß
> MathePower
heißt das, dass in den Zähler die [mm] \partial_x_x_x, \partial_x_x_y [/mm] und [mm] \partial_y_y_y [/mm] im entwicklungpunkt (1,1) kommen und in den Nenner [mm] \partial_x_x [/mm] kommt???
tut mir leid aber ich versteh das alles nicht so wirklich.
lg
sabrina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 So 08.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sabrina!
> hi,
>
> also ich versteh in der Formel den letzten Teil mit den
> partiellen Ableitungen nicht.
>
> >
> > Da es hier nur 2 abhängigen Variablen x,y gibt, kann man
> > das auch so schreiben:
> >
> >
> [mm]T_{n}\left(x,y\right)=\summe_{k=0}^{n}\summe_{k_{1}=0}^{k}\bruch{1}{k_{1}!*\left(k-k_{1}\right)!}*\left(x-x_{0}\right)^{k_{1}}*\left(y-y_{0}\right)^{k-k_{1}} *\left\bruch{\partial^{k} f\left(x,y\right)}{\partial x^{k_{1}} \partial y^{k-k_{1}}}\right|_\left(x_{0}, y_{0}\right)[/mm]
>
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> heißt das, dass in den Zähler die [mm]\partial_x_x_x, \partial_x_x_y[/mm]
> und [mm]\partial_y_y_y[/mm] im entwicklungpunkt (1,1) kommen und in
> den Nenner [mm]\partial_x_x[/mm] kommt???
Nein, das ist eine allgemeine partielle Ableitung, zum Besipiel für k=5 und [mm] $k_1=3$.
[/mm]
[mm]\bruch{\partial^{k} f\left(x,y\right)}{\partial x^{k_{1}} \partial y^{k-k_{1}}}
= \bruch{\partial^{5} f\left(x,y\right)}{\partial x^{3} \partial y^{2}} = \partial_{xxxyy} f\left(x,y\right)
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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