Bestimmen von Kurven < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Ist die Menge [mm] $M_1=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2+(z-1)^2=1 \mbox{und} x^2+y^2+(z+1)^2=1\}$ [/mm] eine Kurve? |
Guten Abend,
kann mir hier jemand helfen?
Wie gehe ich denn an solch eine Aufgabe ran?
Hab da noch wenig Erfahrung mit und weiß auch nicht wirklich was genau ich da machen muss.
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Mi 25.09.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo HappyHaribo!
Was genau ist denn mit dieser Aufgabenstellung gemeint? Die Schnittmenge beider erwähnten Mengen?
Auf jeden Fall sollte Dir bei beiden Mengen auffallen, dass dies jeweils der Beschreibung einer Kugel im [mm]\IR^3[/mm] entspricht.
Allgemein gilt ja: [mm]K \ : \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2+\left(z-z_M\right)^2 \ = \ r^2[/mm]
Dabei ist [mm]M \ \left( \ x_M \ | \ y_M \ | \ z_M \ \right)[/mm] der Mittelpunkt der Kugel.
Also handelt es sich hier um zwei Kugeln. Wenn wirklich die Schnittmenge gemeint ist, gilt es nun herauszufinden, ob sich diese beiden Kugeln berühren oder gar schneiden oder nichts von beiden.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Also hier: http://www.math.uni-konstanz.de/~freist/Selbsttest171113.pdf ist der Link zu der Aufgabe. Ist die Aufgabe 7a).
> Hallo HappyHaribo!
>
>
> Was genau ist denn mit dieser Aufgabenstellung gemeint? Die
> Schnittmenge beider erwähnten Mengen?
>
> Auf jeden Fall sollte Dir bei beiden Mengen auffallen, dass
> dies jeweils der Beschreibung einer Kugel im [mm]\IR^3[/mm]
> entspricht.
>
> Allgemein gilt ja: [mm]K \ : \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2+\left(z-z_M\right)^2 \ = \ r^2[/mm]
>
> Dabei ist [mm]M \ \left( \ x_M \ | \ y_M \ | \ z_M \ \right)[/mm]
> der Mittelpunkt der Kugel.
>
> Also handelt es sich hier um zwei Kugeln. Wenn wirklich die
> Schnittmenge gemeint ist, gilt es nun herauszufinden, ob
> sich diese beiden Kugeln berühren oder gar schneiden oder
> nichts von beiden.
Ok also wenn es zwei Kugeln sind, dann berechne ich den Schnittpunkt/Schnittgerade einfach durch gleichsetzen.
[mm] $x^2+y^2+(z-1)^2-1=x^2+y^2+(z+1)-1 [/mm] => z=0$
Oder etwa nicht?
>
>
> Gruß
> Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Do 26.09.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo HappyHaribo!
> Ok also wenn es zwei Kugeln sind, dann berechne ich den
> Schnittpunkt/Schnittgerade
Hm, ich möchte bezweifeln, dass hier eine Schnittgerade entstehen kann.
> einfach durch gleichsetzen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber das gilt nicht nur für Kugeln.
Der Hinweis mit den Kugeln sollte einem die Lösung eigentlich gleich bildhaft vor Augen führen.
> [mm]x^2+y^2+(z-1)^2-1=x^2+y^2+(z+1)^{\red{2}}-1 => z=0[/mm]
Das stimmt (bis auf das eine fehlende Quadrat - wohl nur ein Tippfehler).
Und was bedeutet nun [mm]z \ = \ 0[/mm] für [mm]x_[/mm] und [mm]y_[/mm] ?
Welche Werte nehmen diese dann an?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
> Hallo HappyHaribo!
>
>
> > Ok also wenn es zwei Kugeln sind, dann berechne ich den
> > Schnittpunkt/Schnittgerade
>
> Hm, ich möchte bezweifeln, dass hier eine Schnittgerade
> entstehen kann.
Es ergibt eine Schnittfläche, die ein Kreis ist dessen Rand wahrscheinlich dann die Kurve ist?
>
>
> > einfach durch gleichsetzen.
>
> Aber das gilt nicht nur für Kugeln.
Wie mach ich dass dann bei Kugeln?
>
> Der Hinweis mit den Kugeln sollte einem die Lösung
> eigentlich gleich bildhaft vor Augen führen.
>
>
> > [mm]x^2+y^2+(z-1)^2-1=x^2+y^2+(z+1)^{\red{2}}-1 => z=0[/mm]
>
> Das stimmt (bis auf das eine fehlende Quadrat - wohl nur
> ein Tippfehler).
>
> Und was bedeutet nun [mm]z \ = \ 0[/mm] für [mm]x_[/mm] und [mm]y_[/mm] ?
> Welche Werte nehmen diese dann an?
Naja müsste dann nicht $x=y=0$ sein?
Versteh grad gar nicht was ich hier machen muss :/
>
>
> Gruß
> Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Hallo HappyHaribo!
> >
> >
> > > Ok also wenn es zwei Kugeln sind, dann berechne ich den
> > > Schnittpunkt/Schnittgerade
> >
> > Hm, ich möchte bezweifeln, dass hier eine Schnittgerade
> > entstehen kann.
> Es ergibt eine Schnittfläche, die ein Kreis ist dessen
> Rand wahrscheinlich dann die Kurve ist?
> >
> >
> > > einfach durch gleichsetzen.
> >
> > Aber das gilt nicht nur für Kugeln.
> Wie mach ich dass dann bei Kugeln?
> >
> > Der Hinweis mit den Kugeln sollte einem die Lösung
> > eigentlich gleich bildhaft vor Augen führen.
> >
> >
> > > [mm]x^2+y^2+(z-1)^2-1=x^2+y^2+(z+1)^{\red{2}}-1 => z=0[/mm]
> >
> > Das stimmt (bis auf das eine fehlende Quadrat - wohl nur
> > ein Tippfehler).
> >
> > Und was bedeutet nun [mm]z \ = \ 0[/mm] für [mm]x_[/mm] und [mm]y_[/mm] ?
> > Welche Werte nehmen diese dann an?
> Naja müsste dann nicht [mm]x=y=0[/mm] sein?
> Versteh grad gar nicht was ich hier machen muss :/
Denken, zuallerst nachdenken. Denn mit deinem Rechenergebnis x=y=0 hast du vollkommen Recht. Und das will jetzt interpretiert werden.
Welche Art von Menge liegt hier vor, wie viele Dimensionen hat diese Menge und wie lautet (für dich) die Definition von Kurve?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > > Hallo HappyHaribo!
> > >
> > >
> > > > Ok also wenn es zwei Kugeln sind, dann berechne ich
> den
> > > > Schnittpunkt/Schnittgerade
> > >
> > > Hm, ich möchte bezweifeln, dass hier eine
> Schnittgerade
> > > entstehen kann.
> > Es ergibt eine Schnittfläche, die ein Kreis ist dessen
> > Rand wahrscheinlich dann die Kurve ist?
> > >
> > >
> > > > einfach durch gleichsetzen.
> > >
> > > Aber das gilt nicht nur für Kugeln.
> > Wie mach ich dass dann bei Kugeln?
> > >
> > > Der Hinweis mit den Kugeln sollte einem die Lösung
> > > eigentlich gleich bildhaft vor Augen führen.
> > >
> > >
> > > > [mm]x^2+y^2+(z-1)^2-1=x^2+y^2+(z+1)^{\red{2}}-1 => z=0[/mm]
>
> > >
> > > Das stimmt (bis auf das eine fehlende Quadrat - wohl
> nur
> > > ein Tippfehler).
> > >
> > > Und was bedeutet nun [mm]z \ = \ 0[/mm] für [mm]x_[/mm] und [mm]y_[/mm] ?
> > > Welche Werte nehmen diese dann an?
> > Naja müsste dann nicht [mm]x=y=0[/mm] sein?
> > Versteh grad gar nicht was ich hier machen muss :/
>
> Denken, zuallerst nachdenken. Denn mit deinem
> Rechenergebnis x=y=0 hast du vollkommen Recht. Und das will
> jetzt interpretiert werden.
>
> Welche Art von Menge liegt hier vor, wie viele Dimensionen
> hat diese Menge und wie lautet (für dich) die Definition
> von Kurve?
Also für mich ist eine Kurve eine Abbildung vom [mm] $\mathbb{R}->\mathbb{R}^n$
[/mm]
Also einfach ne "Linie" im Raum.
Was gibt es denn für verschiedene Mengen?
Dimension ist ja hier da es 2 Kugeln sind eine 3 Dimension. Aber da ich ja dann eine Schnittebene habe, die ein Kreis ist und mich ja nur der Rand interessier habe ich eine 2 Dimension?
>
>
> Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Welche Art von Menge liegt hier vor, wie viele Dimensionen
> > hat diese Menge und wie lautet (für dich) die Definition
> > von Kurve?
> Also für mich ist eine Kurve eine Abbildung vom
> [mm]\mathbb{R}->\mathbb{R}^n[/mm]
> Also einfach ne "Linie" im Raum.
Die meine Ansicht nach übliche Definition ist die eines eindimensionalen Objektes. Das erfüllt deine Definition auch, aber sie schließt Teilmengen der reellen Zahlen in der Urbildmenge aus und das geht natürlich nicht.
> Was gibt es denn für verschiedene Mengen?
> Dimension ist ja hier da es 2 Kugeln sind eine 3 Dimension.
Es geht um die Definition der Lösungsmenge x=y=z=0. Welches geometrische Objekt stellt sie dar, und wie viele Dimensionen hat dieses Dingens? 
> Aber da ich ja dann eine Schnittebene habe, die ein Kreis
> ist und mich ja nur der Rand interessier habe ich eine 2
> Dimension?
Grau, mein Freund, ist alle Theorie (und wichtig ist auf dem Platz): man könnte viele Fälle durchspielen, aber betrachte doch einfach einmal ausschließlich dein erzieltes Resultat, welches doch RICHTIG ist.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > > Welche Art von Menge liegt hier vor, wie viele Dimensionen
> > > hat diese Menge und wie lautet (für dich) die
> Definition
> > > von Kurve?
> > Also für mich ist eine Kurve eine Abbildung vom
> > [mm]\mathbb{R}->\mathbb{R}^n[/mm]
> > Also einfach ne "Linie" im Raum.
>
> Die meine Ansicht nach übliche Definition ist die eines
> eindimensionalen Objektes. Das erfüllt deine Definition
> auch, aber sie schließt Teilmengen der reellen Zahlen in
> der Urbildmenge aus und das geht natürlich nicht.
>
> > Was gibt es denn für verschiedene Mengen?
> > Dimension ist ja hier da es 2 Kugeln sind eine 3
> Dimension.
>
> Es geht um die Definition der Lösungsmenge x=y=z=0.
> Welches geometrische Objekt stellt sie dar, und wie viele
> Dimensionen hat dieses Dingens?
Geometrisches Objekt? Das ist doch ein Punkt oder? Der Ursprung des Koordinatensystems. Also der Berührpunkt beider Kugeln. Also ist es keine Kurve, da es ein Punkt ist.
>
> > Aber da ich ja dann eine Schnittebene habe, die ein Kreis
> > ist und mich ja nur der Rand interessier habe ich eine
> 2
> > Dimension?
>
> Grau, mein Freund, ist alle Theorie (und wichtig ist auf
> dem Platz): man könnte vieles, aber betrachte doch einfach
> einmal ausschließlich dein erzieltes Resultat, welches
> doch RICHTIG ist.
Wenns doch nur so einfach wäre...
>
> Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Welches geometrische Objekt stellt sie dar, und wie viele
> > Dimensionen hat dieses Dingens?
> Geometrisches Objekt? Das ist doch ein Punkt oder? Der
> Ursprung des Koordinatensystems. Also der Berührpunkt
> beider Kugeln. Also ist es keine Kurve, da es ein Punkt
> ist.
Eben: die Schnittmenge besteht aus genau einem Punkt. Ein Punkt ist ein Objekt der Dimension Null und damit keine Kurve, weder nach deiner noch nach der von mir genannten Auffassung/Definition.
> > Grau, mein Freund, ist alle Theorie (und wichtig ist auf
> > dem Platz): man könnte vieles, aber betrachte doch einfach
> > einmal ausschließlich dein erzieltes Resultat, welches
> > doch RICHTIG ist.
> Wenns doch nur so einfach wäre...
Es ist eigentlich so einfach. Es erscheint mir so (aber ich kann mich irren), dass du dir beim Betreiben von Mathematik noch selbst zu wenig Fragen stellst. So sollte man sich beim Lösen von wie auch immer gearteten Gleichungssystemen mit geometrischem Bezug bei der Lösungsmenge stets die Frage stellen, wie diese geometrisch beschaffen sein könnte, ganz egal ob das gerade Teil der Aufgabe ist oder nicht (hioer ist es die Aufgabe!). Es kann nämlich stets der Zündfunke einer zündenden Idee sein...
Gruß, Diophant
|
|
|
|
