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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Sa 14.04.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Berechne folgende Integrale.
a) [mm] \integral_{4}^{5}{x^{3}\wurzel{x^{2}-16} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{1}^{b}{ln(x)^{3}dx} [/mm] b>0
c) [mm] \integral{\bruch{cos x}{sin^2(x)-2sin(x)+1} dx}
[/mm]
d) [mm] \integral{\bruch{e^{2x}}{1+e^x} dx} [/mm] |
Hallo, wir sollen diese Integrale lösen,
mein Tutor gab den Tipp Substitution, doch mir fällt zu diesen Integralen leider keine geeignete Substitution ein.
bitte versucht ihr mal eine zu finden.
Vielen Dank für eure Mühe
MfG
Christoph
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Hallo CPH
bei der (a) substituiere mal [mm] $u:=x^2-16$
[/mm]
bei der (c) klappt die Substitutiuon [mm] $u:=\sin(x)$
[/mm]
bei der (d) [mm] $u:=e^x$ [/mm] substituieren
bei der (b) verstehe ich die Aufgabenstellung nicht so ganz, was soll $b>0$? [mm] $\ln^3(x)$ [/mm] würde ich versuchen, partiell zu verarzten
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
ach, wer lesen kann,.... 
Das b ist obere Integrationsgrenze - aha!
hehe.
Wie gesagt, ich würde [mm] \ln^3(x) [/mm] 2mal partiell integrieren, ob's mit Substitution geht, weiß ich im Moment nicht, aber PI sollte klappen.
cu
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 So 15.04.2007 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank, die substitutionen helfen mir alle weiter, jedoch komme ich dann bei zwei Aufgaben nicht mehr weiter:
bei Aufgabenteil a komme ich auf folgendes Ergebnis:
Integral=.... (substitution)....= [mm] \bruch{1}{2} \integral_{4}^{5}{\wurzel{u^3} + 16 \wurzel{u} du}= [/mm] ... =
[mm] \bruch{1}{5} [/mm] (25 [mm] \wurzel{5} [/mm] - 16 [mm] \wurzel{4}) [/mm] + [mm] \bruch{16}{3} [/mm] (5 [mm] \wurzel{5} [/mm] - 4 [mm] \wurzel{4})
[/mm]
stimmt das?
bei Aufgabenteil c) komme ich auf folgendes Zwischenergebnis, und dann nicht weiter:
[mm] Integral=...Substitution..=\integral{\bruch{du}{u^2-u+1}}
[/mm]
dan komme ich nicht weiter.
bei aufgabenteil d) komme ich auf folgendes Zwischenergebnis:
Integral= ...substitution... = [mm] \integral{\bruch{u}{1+u} du}
[/mm]
bei aufgabenteil b) kann ich das integrieren, komme aber immer wieder auf ein falsches ergebnis.
MfG
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 So 15.04.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
zur c:
> [mm] Integral=...Substitution..=\integral{\bruch{du}{u^2-u+1}}
[/mm]
= [mm] \integral{\bruch{1}{(u-1)^2}du}=\bruch{1}{1-u} [/mm] ist falsch, sorry ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Und dann wieder resubstituieren.
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 So 15.04.2007 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank, aber bist du dier sicher?
[mm] (u-1)^2 [/mm] = [mm] u^2 [/mm] -u-u +1 = [mm] u^2 [/mm] -2u +1 [mm] \not= u^2 [/mm] -u +1
[mm] u^2 [/mm] -u +1 hat leider keine Zerlegung in reelle Nulstellen.
MfG
Christoph
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Hallo Christoph,
ich denke, dein Zwischenergebnis bei (c) ist nicht richtig, und barsch hat "unfreiwillig" Recht
Wenn du bei deinem Integral [mm] \integral{\bruch{cos x}{sin^2(x)-2sin(x)+1} dx}=\integral{\bruch{cos x}{(sin(x)-1)^2} dx} [/mm] wie oben erwähnt [mm] u:=\sin(x) [/mm] substituiert,
kommst du genau auf [mm] \integral{\bruch{1}{(u-1)^2} dx}=\frac{1}{1-u}=\frac{1}{1-\sin(x)}
[/mm]
Glaube ich zumindest, oder?
Gruß
schachuzipus
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:05 So 15.04.2007 | | Autor: | Sigrid |
> Hi,
>
> zur c:
>
Hallo barsch,
> > [mm]Integral=...Substitution..=\integral{\bruch{du}{u^2-u+1}}[/mm]
>
> [mm]=\integral{\bruch{1}{(u-1)^2}du}=\bruch{1}{1-u}[/mm]
Hier hat dir die binomische Formel wohl einen Streich gespielt. Es gilt:
$ [mm] (u-1)^2 [/mm] = [mm] u^2 [/mm] - 2u +1 $
Gruß
Sigrid
>
> Und dann wieder resubstituieren.
>
> MfG
>
>
>
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 13:21 So 15.04.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke, dicker Fehler. Sorry
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 So 15.04.2007 | | Autor: | DesterX |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
probiere es mal so:
\bruch{1}{u^2-u+1}=\bruch{1}{(u-\bruch{1}{2})^2+\bruch{3}{4}} = \bruch{\bruch{4}{3}}{(\bruch{u-\bruch{1}{2}}{\wurzel{\bruch{3}{4}}})^2+1}
Nun substituiere im Integral $t=\bruch{u-\bruch{1}{2}}{\wurzel{\bruch{3}{4}}$ und denk an die Ableitung vom arctan.
Viele Grüße,
Dester
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 So 15.04.2007 | | Autor: | DesterX |
Hallo nochmal,
die d) sollte auch kein Problem sein:
substituiere einfach nochmals: $ t= 1+u [mm] \gdw [/mm] u=t-1 [mm] \Rightarrow [/mm] du=dt $
[mm] \integral{\bruch{u}{1+u} du} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{t-1}{t} dt} [/mm] = [mm] \integral{1- \bruch{1}{t} dt} [/mm]
Dann weiter viel Erfolg!
Gruß,
Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 So 15.04.2007 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank an alle, die bei diesen Aufgaben mitgewirkt haben, ich habe sie nun alle mit eurer hervorragenden Hilfe gelöst.
MfG
Christoph
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