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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 So 20.08.2006 | | Autor: | Stini |
| Aufgabe | Ein Metallstab mit rechteckigem Querschnitt ist auf einer Seite zwischen waagerechten Backen eingespannt. In der Entfernung e = 1m von der Einspannstelle liegt der Stab lose auf. Durch Belastung wird der Stab so gebogen, dass sein tiefster Punkt den Abstand a = 10,5 cm von der Verbindungslinie Einspannstelle-Auflagepunkte besitzt. Legt man ein koordinatensystem wie im Bild an, so kann man die Form des gebogenen Stabs (Biegelinie) rechts vom Backen nährungsweise durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion f angeben. Aus physikalischen Gründen muss für die Nährungsfunktion f gelten: f"(0) = 0
![[]](/images/popup.gif) Graphik
a) Gib eine Nährungsfunktion 4. Grades an.
Zeige: Es gibt keine Nährungsfunktion 3. oder niedrigeren Grades.
b) Löse die Aufgabe allgemein, d.h. gib zu vorgegebenen e und a eine Nährungsfunktion 4- Grades an.
c) Untersuche die in b) erhaltene zweiparametrige Kurvenschar (die Schar parameter sind e und a). |
Als Lösungsansatz zu a) hatte ich allgemein den Funktionsterm einer Funktion 4. Grades + Ableitungen aufgestellt:
[mm] f(x)=ax^4 [/mm] + [mm] bx^3 [/mm] + [mm] cx^2 [/mm] + dx + e
f'(x)= [mm] 4ax^3 [/mm] + [mm] 3bx^2 [/mm] + 2cx + d
f''(x)= [mm] 12ax^2 [/mm] + 6bx + 2c
f'''(x)= 24ax+ 6b
In der Aufgabe steht ja f"(0)=0 daraus folgt ja c=0
Weiter habe ich mir überlegt, dass dann auch f(0)=0 ist und somit e=0
Wegen der Auflage habe ich geschlossen, dass f(1) = 0 ist, dann hat man den Term a+b+d=0
Auf den Tiefpunkt bezogen habe ich [mm] f(x_0)=-0,105 [/mm] und [mm] f'(x_0)=0 [/mm] aufgestellt.
Doch hier komm ich dann nicht weiter, wir haben solche Aufgaben sonst immer, wenn wir dann die Terme aufgestellt hatten, mit Matrizen gelöst, aber ich komme hier nicht auf genügend Terme. Sind die Ansätze denn schonmal richtig? Wisst ihr wie ich hier weiter kommen könnte?
Augabenteile b und c sind erstmal nicht so wichtig, ich würde mich freuen, wenn ihr mir hier schonmal weiterhelfen könntet.
a)Zeige: Es gibt keine Nährungsfunktion 3. oder niedrigeren Grades. habe ich gelöst.
Liebe Grüße und vielen Dank im Voraus, Kerstin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 So 20.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Stini und![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Als Lösungsansatz zu a) hatte ich allgemein den
> Funktionsterm einer Funktion 4. Grades + Ableitungen
> aufgestellt:
> [mm]f(x)=ax^4[/mm] + [mm]bx^3[/mm] + [mm]cx^2[/mm] + dx + e
> f'(x)= [mm]4ax^3[/mm] + [mm]3bx^2[/mm] + 2cx + d
> f''(x)= [mm]12ax^2[/mm] + 6bx + 2c
> f'''(x)= 24ax+ 6b
Top, ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> In der Aufgabe steht ja f"(0)=0 daraus folgt ja c=0
Yep
> Weiter habe ich mir überlegt, dass dann auch f(0)=0 ist
> und somit e=0
Yep
> Wegen der Auflage habe ich geschlossen, dass f(1) = 0 ist,
> dann hat man den Term a+b+d=0
Auch korrekt
> Auf den Tiefpunkt bezogen habe ich [mm]f(x_0)=-0,105[/mm] und
> [mm]f'(x_0)=0[/mm] aufgestellt.
Auch korrekt
> Doch hier komm ich dann nicht weiter, wir haben solche
> Aufgaben sonst immer, wenn wir dann die Terme aufgestellt
> hatten, mit Matrizen gelöst, aber ich komme hier nicht auf
> genügend Terme. Sind die Ansätze denn schonmal richtig?
Du brauchst fünf Terme, und die hast du doch auch, das sollte kein Probelm darstellen
Zu dem Teil mit der Näherungsfunktion 3. Grades. Du hast ja dann vier Variablen und fünf Bedingungen. Das sollte dazu führen, dass du vier Gleichungen erfüllen kannst und mit den Werten dann für die fünfte Gleichung eine Falschaussage á la 3 = 1 bekommst.
Hilft dir das erstmal weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 So 20.08.2006 | | Autor: | Stini |
Hey Marius, danke schonmal...
Aber irgendwie komme, ich mit den fünf Termen nicht weiter.
Ich habe dann ja die folgenden Terme:
f''(0) = [mm] 12a0^2 [/mm] + 6b0 + 2c = 0
f(0) = [mm] a0^4 [/mm] + [mm] b0^3 [/mm] + [mm] c0^2 [/mm] + d0+ e =0
f(1) = [mm] a1^4 [/mm] + [mm] b1^3 [/mm] + [mm] c1^2 [/mm] + d1 + e = 0
und weiter
[mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] 4ax_0^3 [/mm] + [mm] 3bx_0^2+ 2cx_0 [/mm] + d=0
[mm] f(x_0) [/mm] = [mm] ax_0^4 [/mm] + [mm] bx_0^3 [/mm] + [mm] cx_0^2+ dx_0 [/mm] + e = -0,105
das hast du ja auch schon bestätigt,
mein Problem liegt jetzt darin, dass ich die oberern drei terme nicht mit den unteren beiden zusammenbringen kann um eine matrix zu bilden, weil da ja noch die x drin sind... wie kann ich denn dann a, b, d rauskriegen? (c und e sind ja 0)
liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 So 20.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Die [mm] x_{0} [/mm] musst du entwerde ausrechnen, oder auf anderen Wegen bestimmen. Ich dachte, die [mm] x_{0} [/mm] wären 0 und -0,105.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 So 20.08.2006 | | Autor: | Stini |
Also, ich dachte, das wären die y-Werte und darum komme ich da ja nicht weiter, weil ich mir die x-Werte nicht einfach aussuchen kann. (Oder vielleicht doch?) Vielleicht muss ich mir die vielleicht sogar aussuchen, weil da ja einfach nur steht, dass die Stange gebogen wird... und das andere wäre dann die allgemeine Lösung, also, ich probier's nochmal...
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Di 22.08.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Stini,
Hier noch mal, was du schon hast:
Als Lösungsansatz zu a) hatte ich allgemein den Funktionsterm einer Funktion 4. Grades + Ableitungen aufgestellt:
$ [mm] f(x)=ax^4 [/mm] $ + $ [mm] bx^3 [/mm] $ + $ [mm] cx^2 [/mm] $ + dx + e
f'(x)= $ [mm] 4ax^3 [/mm] $ + $ [mm] 3bx^2 [/mm] $ + 2cx + d
f''(x)= $ [mm] 12ax^2 [/mm] $ + 6bx + 2c
f'''(x)= 24ax+ 6b
In der Aufgabe steht ja f"(0)=0 daraus folgt ja c=0
Weiter habe ich mir überlegt, dass dann auch f(0)=0 ist und somit e=0
Wegen der Auflage habe ich geschlossen, dass f(1) = 0 ist, dann hat man den Term a+b+d=0
Auf den Tiefpunkt bezogen habe ich $ [mm] f(x_0)=-0,105 [/mm] $ und $ [mm] f'(x_0)=0 [/mm] $ aufgestellt.
Wenn die Stange bei x=0 waagerecht eingeklemmt ist, muss ja auch f'(x)=0 sein. Damit hast du auch d=0.
Deine Gleichung reduziert sich also auf : $ f(x) = a [mm] x^4 [/mm] + b [mm] x^3 [/mm] $
Von dieser Funktion bestimmst du nun die Extremstelle $ [mm] x_0 \not= [/mm] 0 $ in Abhängigkeit von a und b. (Mein Ergebnis $ [mm] x_0 [/mm] = -\ [mm] \bruch{3 b}{4 a } [/mm] $)
Jetzt kannst du mit deiner Gleichung $ [mm] f(x_0)=-0,105 [/mm] $ weiterrechnen.
Durch die Einführung der zusätzlichen Variablen [mm] x_0 [/mm] brauchst du eine 6. Gleichung.
Gruß
Sigrid
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![[]](http://foto.arcor-online.net/palb/alben/86/204686/1024_6163643839313666.jpg){kind=small}
Graphik