Bestimmen der Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren
[mm] a1:\pmat{ 1 & 2 & 1 & 0 } a2:\pmat{ 1 & 1 & -1 & 1 } a3:\pmat{ -3 & 0 & 3 & -2 } a4\pmat{ 1 & -1 & -2 & 1 }
[/mm]
Bestimmen Sie zwei Basen die von U1= span(a1,a2,a3,a4) und geben Sie die Dimension an! |
Ich habe nen mit gauß das Gleichungssystem gelöst und komme auf:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -3 & 1 \\ 0 &-3&-6&-3 \\ 0&0&12&0 \\ 0&0&0&0 }
[/mm]
wie kann ich nun die basis/basen ablesen? wenn ich die basis habe kann ich ja auch die dimension bestimmen !
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Die Lösung des linearen Gleichungssystem, die du ausgerechnet hast, verrät dir ja, das die 4 Vektoren nicht linear unabhängig sind. (Die Null-Zeile)
Es gibt aber 3 linear unabhängige Vektoren aus den Gegebenen, die du als Basis wählen kannst, z.b. [mm] a_1,a_2,a_3[/mm] oder auch [mm] a_1,a_3,a_4[/mm]
Die Dimension folgt dann ja sofort.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:14 Di 29.01.2008 | | Autor: | Benix |
Hier ist noch eine Anschlussfrage:
Sollte nicht jede Basis schlussendlich als n*n - Matrix geschrieben werden können? Wie kann dann aus diesem Beispiel die Basis aus nur 3 Spaltenvektoren an je 4 Zeilen bestehen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 31.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Joerg_G. |
Auch wenn die Fälligkeit bereits abgelaufen ist, mag es ja für den ein oder anderen noch interessant sein:
> Sollte nicht jede Basis schlussendlich als n*n - Matrix
> geschrieben werden können?
Das ist relativ leicht zu wiederlegen. Nimm zum Beispiel eine Ebene E (linearer Unterraum) im [mm] \IR^3 [/mm] die durch den Nullpunkt geht, also 0 als Aufpunkt besitzt.
Diese Ebene ist durch die Richtungsvektoren [mm] w=\vektor{w1 \\ w2 \\ w3} [/mm] und [mm] v=\vektor{v1 \\ v2 \\ v3} [/mm] in der Form [mm] \lambda [/mm] w + [mm] \mu [/mm] v gegeben.
E = span{w; v}.
Ihre Basisvektoren sind w und v mit je 3 Zeilen bei Dimension (Basislänge) von 2.
Also woher auch immer du die obige Aussage hast, richtig ist sie nicht.
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