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Bestimme: Unterraum od. nicht?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 Fr 21.12.2012
Autor: Apfelchips

Aufgabe
Bestimmen Sie, welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IR^3[/mm] auch Unterräume von [mm]\IR^3[/mm] sind:

a) [mm]U_1 := \left \{ (x,y,z) \in \IR^3 \ | \ x+y-1 = 1 \right \}[/mm]
b) [mm]U_2 := \left \{ u_1 - u_2 \ |\ u_1,u_2 \in U_1 \right \}[/mm]



Hallo zusammen,

ich gehe mit folgender Definition an die Aufgaben heran:

------

[mm]U \subseteq V[/mm] ist genau dann ein Teilraum des Vektorraums V, wenn U abgeschlossen unter Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar ist, d. h. wenn für alle [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U[/mm] und alle [mm]k \in \IK[/mm] gilt:

[mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U \Rightarrow \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \in U[/mm]

[mm]\overrightarrow{a} \in U \Rightarrow k\overrightarrow{a} \in U[/mm]

------


Teil a)

Ich wähle mir [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U_1[/mm] beliebig und addiere diese Vektoren per Vektoraddition. Also:

[mm]\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} + \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} = \vektor{x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2}[/mm]

Also muss nach [mm]x + y - 1 = 1[/mm] nun gelten:

[mm](x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) - 1 = 1[/mm]

Das lässt sich nun ein wenig umformen:

[mm](x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) - 1 = 1 \ | -1[/mm]

[mm](x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) - 2 = 0[/mm]

[mm]\underbrace{(x_1 + y_1 - 1)}_{= 1} + \underbrace{(x_2 + y_2 - 1)}_{=1} = 0[/mm]

[mm]1 + 1 = 2 \neq 0[/mm]

Also ist [mm]U_1[/mm] kein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] .


Teil b)

Analog zu Teil a) wähle ich hier [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U_2[/mm] beliebig und führe eine Vektoraddition durch. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob das dann so aussehen würde:

[mm]\left ( \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} - \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} \right ) + \left ( \vektor{x_3 \\ y_3 \\ z_3} - \vektor{x_4 \\ y_4 \\ z_4} \right ) = \vektor{(x_1-x_2) + (x_3-x_4) \\ (y_1-y_2) + (y_3-y_4) \\ (z_1-z_2) + (z_3-z_4)}[/mm]

Und überhaupt: Wenn [mm]U_1[/mm] kein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] ist (sofern ich damit überhaupt richig liege), kann [mm]U_2[/mm] in diesem Fall dann überhaupt ein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] sein?

Ich würde mich freuen, wenn Ihr Euch das einmal anschauen könntet.

Viele Grüße
Patrick

        
Bezug
Bestimme: Unterraum od. nicht?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Fr 21.12.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Patrick,

eine Teilantwort zu a)


> Bestimmen Sie, welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IR^3[/mm]
> auch Unterräume von [mm]\IR^3[/mm] sind:
>  
> a) [mm]U_1 := \left \{ (x,y,z) \in \IR^3 \ | \ x+y-1 = 1 \right \}[/mm]
>  
> b) [mm]U_2 := \left \{ u_1 - u_2 \ |\ u_1,u_2 \in U_1 \right \}[/mm]
>  
>
> Hallo zusammen,
>  
> ich gehe mit folgender Definition an die Aufgaben heran:
>  
> ------
>  
> [mm]U \subseteq V[/mm] ist genau dann ein Teilraum des Vektorraums
> V, wenn U abgeschlossen unter Vektoraddition und
> Multiplikation mit einem Skalar ist, d. h. wenn für alle
> [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U[/mm] und alle [mm]k \in \IK[/mm]
> gilt:
>  
> [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U \Rightarrow \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \in U[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{a} \in U \Rightarrow k\overrightarrow{a} \in U[/mm]
>  
> ------
>  
>
> Teil a)
>  
> Ich wähle mir [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U_1[/mm]
> beliebig und addiere diese Vektoren per Vektoraddition.
> Also:
>  
> [mm]\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} + \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} = \vektor{x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2}[/mm]
>  
> Also muss nach [mm]x + y - 1 = 1[/mm] nun gelten:
>  
> [mm](x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) - 1 = 1[/mm]
>  
> Das lässt sich nun ein wenig umformen:
>  
> [mm](x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) - 1 = 1 \ | -1[/mm]
>  
> [mm](x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) - 2 = 0[/mm]
>  
> [mm]\underbrace{(x_1 + y_1 - 1)}_{= 1} + \underbrace{(x_2 + y_2 - 1)}_{=1} = 0[/mm]
>  
> [mm]1 + 1 = 2 \neq 0[/mm]
>  
> Also ist [mm]U_1[/mm] kein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] . [ok]

Noch einfacher/schneller: Der Nullvektor [mm]\vektor{x\\ y\\ z}=\vektor{0\\ 0\\ 0}[/mm] ist nicht in [mm]U_1[/mm], damit kann [mm]U_1[/mm] kein Vektorraum sein ...


>  
> Ich würde mich freuen, wenn Ihr Euch das einmal anschauen
> könntet.
>  
> Viele Grüße
>  Patrick

LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Bestimme: Unterraum od. nicht?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 Fr 21.12.2012
Autor: Apfelchips

Hallo schachuzipus,

> > Also ist [mm]U_1[/mm] kein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] . [ok]
>  
> Noch einfacher/schneller: Der Nullvektor [mm]\vektor{x\\ y\\ z}=\vektor{0\\ 0\\ 0}[/mm]

danke fürs Überprüfen und für den Tipp!

Viele Grüße
Patrick

Bezug
        
Bezug
Bestimme: Unterraum od. nicht?: zu b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Fr 21.12.2012
Autor: reverend

Hallo Patrick,

> Bestimmen Sie, welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IR^3[/mm]
> auch Unterräume von [mm]\IR^3[/mm] sind:
>  
> a) [mm]U_1 := \left \{ (x,y,z) \in \IR^3 \ | \ x+y-1 = 1 \right \}[/mm]
>  
> b) [mm]U_2 := \left \{ u_1 - u_2 \ |\ u_1,u_2 \in U_1 \right \}[/mm]
>
> ich gehe mit folgender Definition an die Aufgaben heran:
>  
> ------
>  
> [mm]U \subseteq V[/mm] ist genau dann ein Teilraum des Vektorraums
> V, wenn U abgeschlossen unter Vektoraddition und
> Multiplikation mit einem Skalar ist, d. h. wenn für alle
> [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U[/mm] und alle [mm]k \in \IK[/mm]
> gilt:
>  
> [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U \Rightarrow \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \in U[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{a} \in U \Rightarrow k\overrightarrow{a} \in U[/mm]
>  
> ------
>
> Teil b)
>  
> Analog zu Teil a) wähle ich hier [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U_2[/mm]
> beliebig und führe eine Vektoraddition durch. Allerdings
> bin ich mir nicht sicher, ob das dann so aussehen würde:
>  
> [mm]\left ( \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} - \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} \right ) + \left ( \vektor{x_3 \\ y_3 \\ z_3} - \vektor{x_4 \\ y_4 \\ z_4} \right ) = \vektor{(x_1-x_2) + (x_3-x_4) \\ (y_1-y_2) + (y_3-y_4) \\ (z_1-z_2) + (z_3-z_4)}[/mm]

Hier kommen die Bedingungen von [mm] U_1 [/mm] doch gar nicht vor. [haee]

> Und überhaupt: Wenn [mm]U_1[/mm] kein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] ist
> (sofern ich damit überhaupt richig liege), kann [mm]U_2[/mm] in
> diesem Fall dann überhaupt ein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] sein?

Ja, das ist möglich. Schließlich ist [mm] U_2 [/mm] ja kein Unterraum von [mm] U_1, [/mm] auch wenn für die Definition [mm] U_1 [/mm] herangezogen wird.

Hier ist es gewiss praktischer, erst einmal die Definition von [mm] U_2 [/mm] umzuschreiben. Wie sehen denn Vektoren aus, die in [mm] U_2 [/mm] liegen? Zum einen ist z beliebig, aber über x,y ist eine Aussage zu treffen, nämlich x+y=0.

Versuch das mal nachzuvollziehen. Ab da ist es dann ja ganz einfach.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Bestimme: Unterraum od. nicht?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Fr 21.12.2012
Autor: Apfelchips

Hallo reverend,

> > Analog zu Teil a) wähle ich hier [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U_2[/mm]
> > beliebig und führe eine Vektoraddition durch. Allerdings
> > bin ich mir nicht sicher, ob das dann so aussehen würde:
>  >  
> > [mm]\left ( \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} - \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} \right ) + \left ( \vektor{x_3 \\ y_3 \\ z_3} - \vektor{x_4 \\ y_4 \\ z_4} \right ) = \vektor{(x_1-x_2) + (x_3-x_4) \\ (y_1-y_2) + (y_3-y_4) \\ (z_1-z_2) + (z_3-z_4)}[/mm]
>  
> Hier kommen die Bedingungen von [mm]U_1[/mm] doch gar nicht vor.
> [haee]
>  
> > Und überhaupt: Wenn [mm]U_1[/mm] kein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] ist
> > (sofern ich damit überhaupt richig liege), kann [mm]U_2[/mm] in
> > diesem Fall dann überhaupt ein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] sein?
>  
> Ja, das ist möglich. Schließlich ist [mm]U_2[/mm] ja kein
> Unterraum von [mm]U_1,[/mm] auch wenn für die Definition [mm]U_1[/mm]
> herangezogen wird.
>  
> Hier ist es gewiss praktischer, erst einmal die Definition
> von [mm]U_2[/mm] umzuschreiben. Wie sehen denn Vektoren aus, die in
> [mm]U_2[/mm] liegen? Zum einen ist z beliebig, aber über x,y ist
> eine Aussage zu treffen, nämlich x+y=0.
>  
> Versuch das mal nachzuvollziehen. Ab da ist es dann ja ganz
> einfach.

Okay, ich versuch's mal:


Für [mm]u_1,u_2[/mm] gilt jeweils [mm]x+y-1=1 \gdw x+y-2=0[/mm]

Also kann ich jetzt auch sagen:

[mm]x_1+y_1-2 = x_2+y_2-2[/mm]

Und das lässt sich umformen zu:

[mm](x_1 - x_2) + (y_1 - y_2) = 0[/mm]

Also ist [mm]x+y=0[/mm] .

Durch Addition zweiter Vektoren aus [mm]U_2[/mm] ergibt sich dann:

[mm]\underbrace{((x_1-x_2)+(x_3-x_4)) }_{x}+ \underbrace{((y_1-y_2)+(y_3-y_4)) }_{y}= 0[/mm]

[mm](x_1+y_1) - (x_2+y_2) + (x_3 + y_3) - (x_4+y_4) = 0[/mm]

[mm]0 = 0[/mm]



Jetzt noch die Abgeschlossenheit unter Multiplikation mit einem Skalar:

[mm]k * \vektor{x_1-x_2 \\ y_1-y_2 \\ z_1-z_2} = \vektor{k*(x_1-x_2) \\ k*(y_1-y_2) \\ k*(z_1-z_2)}[/mm]

[mm]\underbrace{k *(x_1-x_2)}_{x} + \underbrace{k *(y_1-y_2)}_{y} = 0[/mm]

[mm]k * (x_1-x_2+y_1-y_2) = 0[/mm]

[mm]k * (\underbrace{(x_1-x_2)}_{x}+\underbrace{(y_1-y_2)}_{y}) = 0[/mm]

Und da [mm]x+y=0[/mm] :

[mm]k * 0 = 0[/mm]

[mm]0 = 0[/mm]


Bezug
                        
Bezug
Bestimme: Unterraum od. nicht?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:09 Fr 21.12.2012
Autor: reverend

Hallo nochmal,

das sieht gut aus. Fehlt nur noch die conclusio: [mm] U_2 [/mm] ist ein Unterraum des [mm] \IR^3. [/mm]

Grüße
reverend


Bezug
                                
Bezug
Bestimme: Unterraum od. nicht?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:58 Fr 21.12.2012
Autor: Apfelchips

Hallo reverend,

> das sieht gut aus. Fehlt nur noch die conclusio: [mm]U_2[/mm] ist
> ein Unterraum des [mm]\IR^3.[/mm]

besten Dank!

Bezug
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