Besselsche Funktion 0. Ordnung < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Do 12.11.2009 | | Autor: | Akrillo |
| Aufgabe |
Die Besselsche Funktion nullter Ordnung
[mm] J_0(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{pi} \integral_{0}^{pi}{ cos(x sin t)dt }
[/mm]
soll an äquidistanten Stellen xi = a + ih, i = 0, . . . , n tabelliert werden. Welche Schrittweite h ist
zu wählen, wenn bei linearer Interpolation mit Hilfe des Tabelle der Interpolationsfehler kleiner als
10−6 ausfallen soll?
Wie verhält sich der Interpolationsfehler |
Hallo Leute,
ich hab probleme beim Integrieren der Besselschen funktion...
Muss das ganze in c schreiben und eine analytische Integration(wahrscheinlich schwer) wäre super, bitte tipps oder ein kleines howto zu dem beispiel.
Falls das unmöglich scheint wärs supi wenn ihr mir erklärt wie man dies nummerisch integrieren kann...
die Funktion bereitet mir jetzt schon 4 Stunden kopfzerbrechen :(
lg
Akrillo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:36 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Besselsche Funktion nullter Ordnung
> [mm]J_0(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{pi} \integral_{0}^{pi}{ cos(x sin t)dt }[/mm]
>
> soll an äquidistanten Stellen xi = a + ih, i = 0, . . . ,
> n tabelliert werden. Welche Schrittweite h ist
> zu wählen, wenn bei linearer Interpolation mit Hilfe des
> Tabelle der Interpolationsfehler kleiner als
> 10−6 ausfallen soll?
> Wie verhält sich der Interpolationsfehler
Mal eine Frage: was genau willst du machen? Die Aufgabe loesen, oder die Tabulation implementieren?!
> Hallo Leute,
>
> ich hab probleme beim Integrieren der Besselschen
> funktion...
> Muss das ganze in c schreiben und eine analytische
> Integration(wahrscheinlich schwer) wäre super, bitte tipps
> oder ein kleines howto zu dem beispiel.
Wenn man das so einfach analytisch integrieren koennte, wuerde man nicht mit dem Integral rumhantieren.
> Falls das unmöglich scheint wärs supi wenn ihr mir
> erklärt wie man dies nummerisch integrieren kann...
Na, halt so wie man immer numerisch integriert? Fuer einen festen Wert von $x$ unterteilst du das Intervall $[0, [mm] \pi]$ [/mm] in genuegend viele Intervalle und wendest auf jedes ein Quadraturverfahren deiner Wahl an.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Do 12.11.2009 | | Autor: | Akrillo |
natürlich steht im Fordergrund die Lösung der Aufgabe.
Ich verstehe dies doch richtig ?
Mein Vorgehen:
$ [mm] J_0(x) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{pi} \integral_{0}^{pi}{ cos(x sin t)dt } [/mm] $ umformen dass ich es in c berechnen kann
Diese funktion dann Interpolieren mit Hilfe von zB dem Newton Verfahren.
Verschiedene Anzahl der Sütztstellen benutzen ( Schranken sind ja 0 bis pi ) umd dann auf das h zu schließen.
Dies tabellieren...
Würde das ganze dann auch noch plotten, u.a. die Differenz der Funktion und der Interpolation womit ich einen Plot vom absoluten Fehler erhalten. Dann such ich wo dieser kleiner ist als 10^-6 und kann mit Hilfe des Plots eine Aussage über das Verhalten des Fehlers machen.
LG
Akrillo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Akrillo!
> natürlich steht im Fordergrund die Lösung der Aufgabe.
>
> Ich verstehe dies doch richtig ?
> Mein Vorgehen:
> [mm]J_0(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{pi} \integral_{0}^{pi}{ cos(x sin t)dt }[/mm]
> umformen dass ich es in c berechnen kann
> Diese funktion dann Interpolieren mit Hilfe von zB dem
> Newton Verfahren.
> Verschiedene Anzahl der Sütztstellen benutzen ( Schranken
> sind ja 0 bis pi ) umd dann auf das h zu schließen.
> Dies tabellieren...
Bist du dir wirklich sicher, dass das gemeint ist? Ich habe daran starke Zweifel. Ich tippe auf: du sollst mit rein mathematischen Mitteln, ohne irgendetwas konkret auszurechnen oder zu implementieren, eine Abschaetzung fuer den Interpolationsfehler finden!
Dazu folgendes:
- du approximierst die Funktion [mm] $J_0(x)$ [/mm] auf einem Intervall $[a, a+h]$ durch eine Gerade (die durch $(a, [mm] J_0(a))$ [/mm] und $(a+h, [mm] J_0(a+h))$ [/mm] geht);
- fuer ein $x [mm] \in [/mm] [a, a+h]$ kannst du jetzt den Abstand der Gerade in $x$ von [mm] $J_0(x)$ [/mm] beschreiben (einen passenden Mittelwertsatz benutzen? so aehnlich wie bei der Taylorentwicklung);
- diesen Fehler sollst du jetzt abschaetzen, so dass du eine Schranke bekommst die fuer alle $x [mm] \in [/mm] [a, a+h]$ gilt (die also nur von $a$ und $h$ abhaengt).
Damit kannst du dann weitermachen.
LG Felix
|
|
|
|
