Bessel´sche Funktion 1. Art < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN_{0}. [/mm] Wir setzen
[mm] \mathcal{J}_{n}(x):= \summe_{l=0}^{ \infty} \bruch{(-1)^{l}}{2^{2l+n}l!(n+l)!} \*x^{2l+n}
[/mm]
Diese Funktion heisst Bessel´sche Funktion erster Art der Ordnung n.
1) Bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser Potenzreihen.
2) Weisen Sie für die Funktion [mm] \mathcal{J}_{0} [/mm] die Existenz einer Nullstelle im Intervall (2,3) nach. |
Also ich bin hier echt am Verzweifeln, kann mir leider auch keine optische Vorstellung von der Funktion machen, da ich nicht weiß, wie ich sie zeichnen soll (das hilft mir manchmal für die Betrachtung der Konvergenz). Hat vielleicht jemand ein Skript oder ne Hilfeseite parat, in der auf unterstem Niveau und gaaanz leicht die Besselschen Funktionen erklärt werden, denn wir hatten sie leider noch nicht in der Vorlesung ;-( .
Könnte man bei Teil 2 der Aufgabe [mm] \mathcal{J}_{n}(x) [/mm] = f(x) = 0
setzen und so die Nullstelle berechnen?
(so haben wir´s halt in der Schule immer bei den Funktionen gemacht). Aber selbst dann weiß ich nicht, wie man das Ganze umstellen könnte - was wird dann aus der Summe und den Fakultäten.
Wäre euch für jede Hilfe sehr sehr dankbar,
liebe (verzweifelte) Grüße belgarda!
Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 So 02.07.2006 | | Autor: | belgarda |
Hi, liebe Gäste und Mitglieder des Matheraumes, hat denn echt keiner von euch ne Lösungsidee oder nen Tipp für mich? Eine gute Erklärung (halt nicht nur ne Definition) zu den Besselschen Funktionen würde mir vielleicht schon weiterhelfen! Vielen Dank schon mal im Vorraus von Belgarda!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:28 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Bebe |
Also, habe die gleiche Aufgabe zu rechnen. Ich erhalte einen Konvergenzradius von unendlich. Aber mein Problem ist der zweite Teil der Aufgabe. Wenn ich die reihe =0 setze, komme ich auf keine konkrete Lösung im angegebenen Intervall. Außerdem ist meine Lösung auch dann noch abhängig von l, obwohl dies eigentlich nicht sein dürfte. Kann mir da vielleicht jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Zaed |
Hallo,
kleiner Hinweis: Wenn ich mir den zweiten Teil der Aufgabe so anschaue, würde ich das mit dem Zwischenwertsatz versuchen. Einfach mal beide Grenzen untersuchen und schauen, ob eine davon negativ und die andere positiv ist. Dann hast du die Existenz der Nullstelle nachgewiesen. Von der genauen Angabe ist ja nicht die Rede
mfG Zaed
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:43 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Bebe |
Okay, laut deinem Hinweis habe ich dann [mm] \summe_{l=0}^{\infty} ((-1)^l)/(l!*l!) [/mm] und [mm] \summe_{l=0}^{ \infty} ((-9)^l)/(4^l*l!+l!). [/mm] Aber da sehe ich doch aber nicht, ob eine Reihe positiv oder negativ ist, oder bin ich einfach nur blind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Zaed |
Hallo,
Nun, ich möchte behaupten, der erste Ausdruck ist positiv [mm] \summe_{l=0}^{\infty} ((-1)^l)/(l!\cdot{}l!) [/mm]
Dies siehst du ganz einfach, wenn du die Summe einmal umschreibst. Du entfernst damit quasi dein [mm] (-1)^l [/mm] und fasst also zwei Glieder immer zusammen (du löst es sozusagen in gerade und ungerade Gleider auf)
[mm]\summe_{l=0}^{\infty} ( \bruch{1}{((2l)!^2)} - \bruch{1}{(2l+1)!^2} ) } [/mm]
Hier solltest du sehen, dass man nur positive Glieder aufsummiert...
Bei der zweiten Summe ist das nichtmehr so einfach, aber auch da kann man die Gleider so geschickt zusammenfassen, dass man immer negative Glieder summiert. (kleiner Hinweis: Das sind diesmal mehr als nur 2)
mfG Zaed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Bebe |
kannst du vielleicht, deine Mitteilung noch mal schreiben, irgendwie fehlt in der Mitte etwas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Zaed |
Habe die Antwort nochmals editiert... Vielleicht siehst du jetzt das fehlende Mittelstück - bei mir war es allerdings vorhanden
mfG Zaed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Bebe |
Hallo, danke. Ja jetzt ist es sichtbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 05.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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http://de.wikipedia.org/wiki/Besselsche_Differentialgleichung