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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 So 17.07.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Überprüfen Sie, ob die Folge [mm] (a_n)_{n \in \mathbb N} [/mm] durch 2 nach unten beschränkt ist. |
Hi!
Hierzu habe ich in meiner Formelsammlung folgendes stehen:
[mm] $|a_n| [/mm] < K$ wobei $K>0$
K ist ja in meinem Fall die 2. Wenn ich das jetzt einsetze, dann komme ich auf:
[mm] $\frac{5n+1}{3n-1} [/mm] < 2$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 5n+1 < 2(3n-1)$ (Den Nenner auf die andere Seite holen verändert das Ungleichheitszeichen nicht, da $n [mm] \in \mathbb [/mm] N$ gilt)
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] -n < -3$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] n > 3$
In meiner Lösung zu der Aufgabe steht aber, dass man das so machen soll:
[mm] $\frac{5n+1}{3n-1} \geq [/mm] 2 $
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 5n+1 [mm] \geq [/mm] 2(3n-1)$ (Den Nenner auf die andere Seite holen verändert das Ungleichheitszeichen nicht, da $n [mm] \in \mathbb [/mm] N$ gilt)
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 3 [mm] \geq [/mm] n$
Woher weiß ich denn nun, was davon richtig ist? Ist das was in der Lösung steht (also, mit dem [mm] $\geq$ [/mm] oder das was in meiner Formelsammlung steht? Gibt es Unterschiede zwischen dem nach unten und nach oben beschränkt. Soweit ich weiß gibt's das. Warum aber finde ich aber dann im Bronstein (meine Formelsammlung) nur die Formel für den allgemeinen Fall "beschränkt" und nicht auch noch zusätzlich für nach oben beschränkt [mm] ($a_n \leq [/mm] K$) und nach unten beschränkt [mm] ($a_n \geq [/mm] K$)?
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> Überprüfen Sie, ob die Folge [mm](a_n)_{n \in \mathbb N}[/mm]
> durch 2 nach unten beschränkt ist.
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> Hi!
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> Hierzu habe ich in meiner Formelsammlung folgendes stehen:
>
> [mm]|a_n| < K[/mm] wobei [mm]K>0[/mm]
Und du bist ganz sicher, dass das für Beschränktheit da steht (und nur das)?
Wäre es Beschränktheit würde auf jeden Fall noch ein [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] (oder für fast alle zumindest) fehlen und die Betragsstriche ergeben auch nur wenig Sinn, ebenso wie die Forderung $K > 0$ - so ist zum Beispiel [mm] $a_n [/mm] = -n$ nach oben durch 0 beschränkt, aber [mm] $|a_n| [/mm] < 0$ ist falsch...
Für mich sieht das eher so aus als wärst du in das Kapitel über (Reihen)konvergenz/absolute Konvergenz gestolpert - also schau das am besten nochmal nach.
> K ist ja in meinem Fall die 2. Wenn ich das jetzt einsetze,
> dann komme ich auf:
>
> [mm]\frac{5n+1}{3n-1} < 2[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow 5n+1 < 2(3n-1)[/mm] (Den
> Nenner auf die andere Seite holen verändert das
> Ungleichheitszeichen nicht, da [mm]n \in \mathbb N[/mm] gilt)
> [mm]\Leftrightarrow -n < -3[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow n > 3[/mm]
>
jupp, stimmt so weit.
>
> In meiner Lösung zu der Aufgabe steht aber, dass man das
> so machen soll:
>
> [mm]\frac{5n+1}{3n-1} \geq 2[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow 5n+1 \geq 2(3n-1)[/mm]
> (Den Nenner auf die andere Seite holen verändert das
> Ungleichheitszeichen nicht, da [mm]n \in \mathbb N[/mm] gilt)
> [mm]\Leftrightarrow 3 \geq n[/mm]
Das hier ist doch genau das gleiche wie das was du gemacht hast, nur das Ungleichungszeichen anders herum.
Also es wird hier gezeigt, dass die Folge nur für $n [mm] \leq [/mm] 3$ größer-gleich zwei ist; du hast oben gezeigt, dass sie für $n > 3$ kleiner zwei ist...
> Woher weiß ich denn nun, was davon richtig ist? Ist das
> was in der Lösung steht (also, mit dem [mm]\geq[/mm] oder das was
> in meiner Formelsammlung steht?
Es ist wie gesagt inhaltlich das gleiche - wobei es mich ein wenig wundert wieso die Lösung so eine Art Widerspruchsbeweis zu konstruieren versucht wo er garnicht nötig ist.
> Gibt es Unterschiede
> zwischen dem nach unten und nach oben beschränkt. Soweit
> ich weiß gibt's das. Warum aber finde ich aber dann im
> Bronstein (meine Formelsammlung) nur die Formel für den
> allgemeinen Fall "beschränkt" und nicht auch noch
> zusätzlich für nach oben beschränkt ([mm]a_n \leq K[/mm]) und
> nach unten beschränkt ([mm]a_n \geq K[/mm])?
Nun, wie oben gesagt empfehle ich dir nochmal genau nachzugucken ob du im richtigen Abschnitt warst.
Davon abgesehen reicht die Definition für das eine, weil das andere genau analog funktioniert.
Also einmal hübsche Definitionen für dich:
$s [mm] \in \IR$ [/mm] ist obere Schranke einer Folge [mm] $(a_n) \gdw \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] a_n \leq [/mm] s$
$i [mm] \in \IR$ [/mm] ist untere Schranke einer Folge [mm] $(a_n) \gdw \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] a_n \geq [/mm] i$
Wie du siehst sind die Definitionen fast identisch, weshalb es durchaus reicht eine davon zu kennen.
Es kommt manchmal auch vor, dass man von einer oberen Schranke spricht wenn die Folgenwerte für "fast alle" (also für alle bis auf endlich viele) n drunter liegen. (also in deinem Fall gilt es ja für alle n bis auf 1,2,3)
Dann würde die Definition so aussehen:
$s [mm] \in \IR$ [/mm] ist obere Schranke einer Folge [mm] $(a_n) \gdw \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] n>N : [mm] a_n \leq [/mm] s$
$i [mm] \in \IR$ [/mm] ist untere Schranke einer Folge [mm] $(a_n) \gdw \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] n>N : [mm] a_n \leq [/mm] i$
Also es wird noch die Bedingung eingefügt, dass es erst ab einem gewissen N ab gelten soll (in deinem Fall für n > 3).
Also, deine Rechnung war vollkommen richtig, aber die Definition die du benutzt hast passt nicht so ganz zur Beschränktheit.
MfG
Schadowmaster
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