Beschränktheit von Mengen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Hallo zusammen,
habe hier eine Matheaufgabe mit der ich garnicht zurecht komme! Bitte dringend um Hilfe! Danke im Voraus.
Also:
1) Zeigen Sie: Die Vereinigung endlich vieler nach oben beschränkter Mengen ist wieder nach oben beschränkt.
Der Durchschnitt einer nach oben beschränkten Menge mit einer beliebigen Menge ist ebenfalls nach oben beschränkt. (Anmerkung:Entsprechendes gilt für Mengen, die nach unten beschränkt sind.)
2) Sind alle [mm] a\in [/mm] A von Null verschieden, so sei [mm] \bruch{1}{A}= {\bruch{1}{a} : a\in A}.
[/mm]
Zeigen Sie: Ist inf A > 0, so ist sup [mm] \bruch{1}{A} [/mm] = [mm] \bruch{1}{inf A}
[/mm]
(Hinweis: Sei b = inf A; betrachten Sie [mm] \bruch{1}{a} [/mm] - [mm] \bruch{1}{b} [/mm] für [mm] a\in [/mm] A.)
|
Die Vereinigung unendlich vieler nach oben beschränkter Mengen führt zu einer Zahl.
Vereinigung von Mengen bedeutet ja, das immer die Glieder, die in allen Mengen enthalten sind von Bedeutung sind.
z.B. [mm] A\cup B\cup [/mm] C
aber wie soll man das beweisen?? wie formuliert man das denn?
Zu Aufgabe b habe ich gar keine Ahnung leider..
Grüße,
Mathegirl
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 22:36 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Alfonso |
$ [mm] A\cup B\cup [/mm] $ C
Also, dass die Vereinigung nach oben beschränkt sein soll ist doch recht leicht.
Sei a=SupA und b=SupB und c=SupC (sup meint supremum). Wie können a,b und c in Relation zu einander stehen? Was folgt daraus?
Das ist nicht so schwer.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Ich weiß es leider echt nicht...sorry...
Muss mich in das Thema irgendwie versuchen einzulesen und die ganze Problematik erst einmal verstehen.. aber trotzdem Danke!
Grüße,
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich hatte es heute schon an anderer Stelle gesagt. das A und O ist die Kenntnis der Definitionen.
Es ist wichtig, daß man diese korrekt reproduzieren kann, denn ohne Defs läuft nix. Null.
Zur Vorgehensweise bei solchen Aufgaben:
sowas kapiert man nicht vom Überfliegen, und normalerweise zieht man nicht gleich die Lösung aus der Tasche. Das muß man akzeptieren und überlegen, auf welchem Weg man selbst doch zum Ziel kommen kann. Man muß die Aufgaben drehen, wenden und be-greifen.
Mir hilft es, wenn ich mir mal kleine Beispiele mache.
Nimm doch mal für 1) drei nach oben beschränkte Mengen her, z.B,
A:= [mm] \{ ..., -3,-2, -1, 0 , 1 ,\}, [/mm] eine obere Schranke von A ist [mm] s_A:= [/mm] 451
B:= [mm] \{x\in \IR | 4
C: =] -9, -7], eine obere Schranke ist [mm] s_C:= [/mm] -7
Überlege Dir, was die Vereinigung dieser Mengen ist. (Vereinigung: alles zusammenschütten)
Und nun guck nach, ob die Zahlen, die in der Vereinigung sind, beliebig groß sind, ober ob es Grenzen gibt, die sie nicht überschreiten.
Ich behaupte: 4711 wird nicht überschritten.
> 1) Zeigen Sie: Die Vereinigung endlich vieler nach oben
> beschränkter Mengen ist wieder nach oben beschränkt.
> Der Durchschnitt einer nach oben beschränkten Menge mit
> einer beliebigen Menge ist ebenfalls nach oben beschränkt.
> (Anmerkung:Entsprechendes gilt für Mengen, die nach unten
> beschränkt sind.)
>
> 2) Sind alle [mm]a\in[/mm] A von Null verschieden, so sei
> [mm]\bruch{1}{A}= {\bruch{1}{a} : a\in A}.[/mm]
> Zeigen Sie: Ist inf
> A > 0, so ist sup [mm]\bruch{1}{A}[/mm] = [mm]\bruch{1}{inf A}[/mm]
>
> (Hinweis: Sei b = inf A; betrachten Sie [mm]\bruch{1}{a}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{b}[/mm] für [mm]a\in[/mm] A.)
>
> Die Vereinigung unendlich vieler nach oben beschränkter
> Mengen führt zu einer Zahl.
> Vereinigung von Mengen bedeutet ja, das immer die Glieder,
> die in allen Mengen enthalten sind von Bedeutung sind.
>
> z.B. [mm]A\cup B\cup[/mm] C
> aber wie soll man das beweisen?? wie formuliert man das
> denn?
>
> Zu Aufgabe b habe ich gar keine Ahnung leider..
v
Auch bei der zweiten Aufgabe ist ein beipiel sicher erstmal sinnvoll.
Nimm Dir doch eine Menge her, die nur von 0 verschiedene Elemente enthält, z.B. A:= [mm] \{ 1,2,3,4,5,6\}.
[/mm]
Was ist [mm] \bruch{1}{A}?
[/mm]
Was ist inf(A), was ist sup(A), stimmt es hier, daß sup [mm]\bruch{1}{A}[/mm] = [mm]\bruch{1}{inf A}[/mm].
Auf diesem Wege kann man sich den Aufgaben nähern.
Manchmal ist es auch hilfreich, wenn man für sich allein im stillen Kämmerlein mal versucht, die zubeweisenden Behauptungen zu widerlegen. (Studententräume werden wahr, wenn es wirklich mal gelingt!)
Gruß v. Angela
>
>
> Grüße,
> Mathegirl
|
|
|
| |
|
Aufgabe a) habe ich mithilfe eines Lehrbuches jetzt nun verstanden und auch den Beweis, aber was ist mit b?? das verstehe ich überhaupt gar nicht!!
Hat jemand eine Idee?
MfG Mathegirl
|
|
|
| |
|
> Aufgabe a) habe ich mithilfe eines Lehrbuches jetzt nun
> verstanden und auch den Beweis, aber was ist mit b?? das
> verstehe ich überhaupt gar nicht!!
>
> Hat jemand eine Idee?
Hallo,
ja, natürlich hat jemand eine Idee...
Ich hab' Dir doch schon erklärt, wie Du Dich der Aufgabe nähern kannst, um erstmal ein Verständnis davon zu entwickeln, worum es geht. (?)
Hast Du die Aussage mal nachvollzogen mit meiner ganz konkreten Menge? Was hast Du herausgefunden?
Wie sah danach Dein Versuch aus, die Behauptung zu beweisen?
Was ist vorausgesetzt? Was genau mußt Du zeigen?
Wie hast Du mit dem Beweis begonnen und an welcher Stelle scheiterst Du weshalb?
Ich würde Dir gern helfen, wie sicher viele andere hier auch, aber ohne daß man erkennt, wo es hakt, ist das kaum sinnvoll möglich.
Wir wollen die Aufgaben ja nicht einfach vorrechnen. (Vorgerechnete Beispiele findet man in Lehrbüchern, und es ist natürlich durchaus sinnvoll, sich mal eingehend mit solchen fix und fertigen Beispielen zu beschäftigen, bevor man die hausübungen löst.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
die definitionen kann ich nun schon fast auswendig, aber was nützen mir diese, wenn ich sie nicht anwenden kann. ein konkretes beispiel zu der Aufgabe konte ich leider auch nicht finden.
Ich habe das so gemacht (was sicher auch nur halbfertig oder ganz falsch sein wird)
Ich habe mir die Mengen A und B gewählt:
Für alle [mm] x\in [/mm] A muss gelten: [mm] x\le [/mm] a also muss auch [mm] x\le [/mm] max{a,b} sein.
Für alle [mm] y\in [/mm] B gilt: [mm] y\le [/mm] b also auch [mm] y\le [/mm] max{a,b}
das folgt aus der Behauptung
|
|
|
| |
|
> die definitionen kann ich nun schon fast auswendig, aber
> was nützen mir diese, wenn ich sie nicht anwenden kann.
> ein konkretes beispiel zu der Aufgabe konte ich leider auch
> nicht finden.
hallo,
es geht jetzt wohl um Aufgabe 1.
Jetzt basteln wir mal ein konkretes Beispiel:
[mm] A:=\{ 2, 5 , 7, 9, 123 \} [/mm] ist nach oben beschränkt durch [mm] s_a=234, [/mm] denn es ist [mm] a\le [/mm] 234 für alle [mm] a\in [/mm] A
B:= [mm] \{1, 7, 9,100 \} [/mm] ist nach oben beschränkt durch [mm] s_b=100, [/mm] denn es ist [mm] b\le [/mm] 100 für alle [mm] b\in [/mm] B.
Es ist [mm] A\cup B=\{1,2, 7, 9,100, 123\}, [/mm] und diese Menge ist selbstverständlich beschränkt durch [mm] max\{234, 100}, [/mm] denn für alle [mm] c\in A\cup [/mm] B gilt [mm] c\le [/mm] 234.
Bei diesem konkreten Beipiel klappt's schonmal.
> Ich habe das so gemacht (was sicher auch nur halbfertig
> oder ganz falsch sein wird)
>
> Ich habe mir die Mengen A und B gewählt:
Aha. Du willst das jetzt also erstmal für zwei Mengen zeigen.
Sei a eine obere Schranke von A und b eine obere Schranke von B.
Sei nun [mm] x\in A\cup [/mm] B.
Dann ist [mm] x\in [/mm] A oder [mm] x\in [/mm] B.
>
> Für alle [mm]x\in[/mm] A muss gelten: [mm]x\le[/mm] a also muss auch [mm]x\le[/mm]
> max{a,b} sein.
> Für alle [mm]y\in[/mm] B gilt: [mm]y\le[/mm] b also auch [mm]y\le[/mm] max{a,b}
Insgesamt erhält man also: max{a,b} ist eine obere Schranke von [mm] A\cup [/mm] B.
Damit hast Du die Aussage für zwei nach oben beschränkte Mengen gezeigt. Du kannst sie später noch gebrauchen.
Die zu beweisende Aussage sagt ja dies:
Sind [mm] A_1, [/mm] ... , [mm] A_n [/mm] nach oben beschränkte Mengen, so ist [mm] A_1\cup [/mm] ... [mm] \cup A_n [/mm] eine nach oben beschränkte Menge für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Diese Aussage schreit geradezu nach vollständiger Induktion.
Versuch das mal, und erinnere Dich im Induktionsschluß an den beweis für zwei beschränkte Mengen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
