Beschränktheit lin. Abbildung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist [mm] f:\IR^n\to\IR^m, [/mm] f=Ax eine lineare Abbildung, so gilt [mm] \parallel f(x)\parallel \le [/mm] C * [mm] \parallel x\parallel.
[/mm]
Begründung: Da f stetig ist, nimmt die Abbildung x -> [mm] \parallel f(x)\parallel [/mm] auf der Einheitssphäre S1(0): { [mm] \parallel x\parallel [/mm] = 1} ihr Maximum an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
irgendwie fehlt mir das letzte Puzzleteil für das Verständnis dieser Begründung. Wieso nimmt die Abbildung auf der Einheitsspähre ihr Maximum an?
Besten Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Fr 04.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Abbildung f ist stetig und die Einheitssphäre ist kompakt.
Ein Satz der Analysis sagt nun, das f auf derSphäre Max. (und Min. ) annimmt.
FRED
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Genau das will ich ja wissen - hat dieser Satz einen Namen? Wo finde ich den Beweis?
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> Genau das will ich ja wissen - hat dieser Satz einen Namen?
> Wo finde ich den Beweis?
Hallo,
den Satz findet man machmal unter dem Namen "Satz vom Maximum".
Bewiesen dürfte er in nahezu jedem Analysisbuch sein - ich denke, Du findest ihn auch irgendwo im Internet.
In der eindimensionalen Analysis hat man ihn schon in der Schule kennengelernt: stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen nehmen ihr Minimum und Maximum an.
Die wesentliche Voraussezung für seine Gültigkeit ist neben der Stetigkeit der Funktion die Kompaktheit der Menge, auf der sie definiert ist.
Gruß v. Angela
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Wieso nimmt der Betrag von f(x) ein Maximum auf der Einheitsspähre an? Die Funktion ist doch auf ganz [mm] R^n [/mm] definiert?!
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> Wieso nimmt der Betrag von f(x) ein Maximum auf der
> Einheitsspähre an? Die Funktion ist doch auf ganz [mm]R^n[/mm]
> definiert?!
Hallo,
Fernziel ist ja zu zeigen, daß für die lineare Abbildung
f=Ax gilt $ [mm] \parallel f(x)\parallel \le [/mm] $ C * $ [mm] \parallel x\parallel. [/mm] $, dh. [mm] \bruch{\parallel f(x)\parallel}{ \parallel x\parallel} \le [/mm] C.
Man betrachtet nun erstmal die Funktion eingeschränkt auf die Einheitssphäre, und mit dem mehrfach erwähnten Satz stellt man fest, daß es einen Einheitsvektor e gibt, so daß
[mm] \parallel f(\bruch{x}{ \parallel x\parallel})\parallel \le \parallel f(e)\parallel [/mm] für alle x.
Aufgrund der Linearitat v. f gilt nun für alle [mm] x\not=0
[/mm]
[mm] \parallel f(x)\parallel= [/mm] f( [mm] \parallel x\parallel \bruch{x}{ \parallel x\parallel})\parallel \le \parallel x\parallel*\parallel f(e)\parallel [/mm] ,
und damit ist die Behauptung gezeigt. [mm] (C:=\parallel f(e)\parallel)
[/mm]
Gruß v. Angela
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