Beschränktheit bei Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Mo 19.10.2015 | | Autor: | sae0693 |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Folge [mm] [/mm] mit [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{3n}{n+1} [/mm] auf Beschränktheit und Monotonie. |
Hierbei habe ich zuerst mit Limes den Grenzwert gegen unendlich berechnet. Dabei erhalte ich 3. Daraufhin 3 + 3/2 = 4,5. Daraus habe ich geschlossen, dass 3 die untere und 4,5 die obere Grenze ist. Laut meinem Professor ist dies aber nicht so. Seine Lösung lautet mit 0 nach unten beschränkt, mit 3 nach oben. Was ist nun richtig? Was habe ich falsch gemacht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Mo 19.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo sae0693 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Untersuchen Sie die Folge [mm][/mm] mit [mm]a_{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{3n}{n+1}[/mm] auf Beschränktheit und Monotonie.
> Hierbei habe ich zuerst mit Limes den Grenzwert gegen
> unendlich berechnet. Dabei erhalte ich 3.
Okay.
> Daraufhin 3 + 3/2 = 4,5.
Wie kommst du darauf?
> Daraus habe ich geschlossen, dass 3 die untere und
> 4,5 die obere Grenze ist.
Nein.
(Übrigens: Schreibe "eine" statt "die".)
> Laut meinem Professor ist dies
> aber nicht so. Seine Lösung lautet mit 0 nach unten
> beschränkt, mit 3 nach oben. Was ist nun richtig?
(Ich nehme an, dass euer Anfangsindex die [mm] $0\$ [/mm] ist.)
Dein Professor hat recht.
> Was habe ich falsch gemacht?
Eine Folge [mm] $$ [/mm] reeller Zahlen heißt nach oben beschränkt, falls sie eine obere Schranke [mm] $O\$ [/mm] besitzt, so dass gilt
[mm] $a_n\le [/mm] O$ für alle [mm] n\in\IN_0.
[/mm]
Eine Folge [mm] $$ [/mm] reeller Zahlen heißt nach unten beschränkt, falls sie eine untere Schranke [mm] $U\$ [/mm] besitzt, so dass gilt
[mm] $a_n\ge [/mm] U$ für alle [mm] n\in\IN_0.
[/mm]
Eine Folge [mm] $$ [/mm] reeller Zahlen heißt beschränkt, falls sie nach oben und nach unten beschränkt ist.
Du behauptest, dass [mm] $$ [/mm] nach unten durch [mm] $3\$ [/mm] und nach oben durch $4.5$ beschränkt ist.
Also behauptest du, dass folgendes gilt
[mm] $a_n\le [/mm] 4.5$ für alle [mm] n\in\IN_0,
[/mm]
[mm] $a_n\ge [/mm] 3$ für alle [mm] $n\in\IN_0\qquad(\star)$.
[/mm]
Es stimmt zwar, dass $O:=4.5$ eine obere Schranke von [mm] $$ [/mm] ist, aber bspw. ist
[mm] $a_1=\frac{3*1}{1+1}=\frac{3}{2}
[/mm]
und damit haben wir ein [mm] n\in\IN_0 [/mm] gefunden mit [mm] $a_n<3$, [/mm] so dass [mm] (\star) [/mm] nicht gilt.
Übrigens: Wir müssen EINE obere und EINE untere Schranke angeben. Die [mm] $3\$ [/mm] ist die kleinste obere Schranke. Die [mm] $4.5\$ [/mm] ist auch eine obere Schranke und damit auch zulässig. Falls euer Anfangsindex die [mm] $0\$ [/mm] ist, dann ist die [mm] $0\$ [/mm] auch die größte untere Schranke. Die Beweise fehlen dir allerdings.
Ich zeige dir eine Möglichkeit [mm] $O\$ [/mm] zu bestimmen:
[mm] $a_n=\frac{3n}{n+1}<\frac{3n}{n}=3=:O$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Bestimme du nun [mm] $U\$.
[/mm]
Grundsätzlich: Jede monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge ist konvergent.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mo 19.10.2015 | | Autor: | sae0693 |
Also rechne ich einfach [mm] a_{0}=\bruch{3*0}{0+1}=0?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mo 19.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Also rechne ich einfach [mm]a_{0}=\bruch{3*0}{0+1}=0?[/mm]
Ja, aber damit hast du noch nicht gezeigt, dass die Folge nach unten beschränkt ist. Wenn du allerdings zeigst, dass die Folge monoton steigend ist, dann ist hier selbstverständlich [mm] a_0 [/mm] die kleinste obere Schranke. Ist dir das klar?
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