Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Reihen [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{2k} [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{2k-1} [/mm] nach oben unbeschränkt sind. |
Hallo,
ich finde es absolut logisch, dass das oben gilt. Ich weiß jedoch nicht, wie man zeigt, dass etwas unbechränkt ist. Haben bisher immer nur Beschränkheit gezeigt.
Ich dachte mir, dass ja quasi jede dieser Folgen genau die Hälfte der harmonischen Reihe ist.
Aber bringt mir das was für den Beweis?
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Hiho,
erstmal sind deine "Reihen" gar nicht unbeschränkt, da sie nur bis n laufen, aber ich vermute, das ist ein Schreibfehler.
Wie habt ihr denn gezeigt, dass die harmonische Reihe divergent ist?
Wenn ihr das habt, bist du doch schon fertig und dein Ansatz stimmt auch, denn wie du schon sagtest:
Sind diese Reihen beschränkt, so auch 2* diese Reihen und damit die harmonische Reihe (zumindest beim ersten)
Beim anderen musst du aufpassen, da nimmst du NUR die ungeraden Glieder! Wieso divergiert das trotzdem? (Gleiche Beweisführung, nimm an es sei beschränkt, dann auch die harmonische Reihe).
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Danke schonmal für den Tipp,
aber den ungeraden finde ich es etwas komisch zu zeigen.
Bei der harmonischen haben wir damit argumentiert, dass die Zusammenfassung von einer bestimmten Anzahl von Gliedern immer größergleich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist.
Aber das kriege ich doch mit den ungeraden nicht mehr hin.
Reicht als Argument zu sagen, wenn diese Reihe konvergent wäre, dann wäre es auch die harmonische? Hat das was mit dem Minorantenkriterium zu tun?
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Hiho,
> Danke schonmal für den Tipp,
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> aber den ungeraden finde ich es etwas komisch zu zeigen.
> Bei der harmonischen haben wir damit argumentiert, dass
> die Zusammenfassung von einer bestimmten Anzahl von
> Gliedern immer größergleich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ist.
>
> Aber das kriege ich doch mit den ungeraden nicht mehr hin.
> Reicht als Argument zu sagen, wenn diese Reihe konvergent
> wäre, dann wäre es auch die harmonische? Hat das was mit
> dem Minorantenkriterium zu tun?
Nein, aber die harmonische Reihe besteht ja aus den geraden k und den ungeraden!
Wären beide beschränkt, wäre auch die Summe aus beiden beschränkt und damit die harmonische Reihe.
(denke dran, dass die erste Reihe die mit den GERADEN Gliedern darstellt!)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:27 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] (a_n):= [/mm] ( $ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{2k} [/mm] $)
Annahme: [mm] (a_n) [/mm] ist nach oben beschränkt. Das Monotoniekriterium für Reihen liefert dann die Konvergenz der Reihe
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2k} [/mm] $
Wegen
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}=2*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2k} [/mm] $
konvergiert dann auch die harmonische Reihe, Widerspruch
FRED
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