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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Di 05.09.2006 | | Autor: | Barncle |
Hallo! :)
So erstmal eine Definition:
Sei f ein lineares Funktional auf dem normierten Raum (V, [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel)
[/mm]
f heißt beschränkt, wenn es ein K > 0 gibt mit |f(x)| [mm] \le K\parallel [/mm] x [mm] \parallel
[/mm]
und noch ein Satz:
Ein lineares Funktional ist genau dann stetig, wenn es beschränkt ist.
Nun das ganze gilt übrigens auf noch für lineare Operatoren.
Und jetzt zu meiner Frage! Warum ist f stetig, wenn beschränkt?
ICh kann mir das ganze nicht wircklich vorstellen.
Eigentlich glaub ich auch, dass ich ein f gefunden hab, bei dem das nicht gilt, aba wahrscheinlich hab ich an dem Begriff lineares Funktional was nicht verstahden oder ähnliches.
Auf jeden Fall kann ich doch eine Funktion definieren als:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } \mbox{ x < 0} \\ 1, & \mbox{für } \mbox{ x > 0} \end{cases}
[/mm]
nunja.. jetzt hab ich da doch ind K = 1 für das obiges gilt... und f ist nicht stetig.. aba doch beschränkt... zumindes wenn man die norm von x als Betrag interpretiert....
Ich könnte mir vorstellen, dass ich da grad einigen Blödsinn verzapft ha... vor allem weil meine Funktion aus dem [mm] R^2 [/mm] ist... naja.. und der ganze Rest nur für höherdimensionales.. aba wie auch immer ich bitte um Hilfe! ;)
Hab diese Frage natürlich nirgends anders gestellt
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Hallo und guten Tag,
um es kurz zu machen: Ein beschränktes f ist stetig, weil bei [mm] y\to [/mm] x die Norm von y-x gegen 0 konvergiert
(d.h. die Normabbildung ist stetig).
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Di 05.09.2006 | | Autor: | Barncle |
Hmm.. das hilft mir leider beim verständniss nicht sonderlich! :(
Geht das vielleicht auch genauer.. bisschen bildlicher (ich weiß MAthe und bildlich geht nicht immer)
und was genau ist mit y --> x gemeint?
Ich weiß dass is vielleicht bissi zeitaufwendig... aba ich checks nicht! :(
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Hallo nochmal,
ok, es gilt also [mm] f(x)\leq K\cdot [/mm] |x|,
wobei |x| der Einfachheit halber die Norm von x bezeichne, ok ?
Dann ist die Frage: Gilt für jedes x [mm] (x\in [/mm] ''Normierter Raum''  )
[mm] \lim_{|y-x|\to 0}|f(y)-f(x)|=0 [/mm] ?
Nun, es gilt
[mm] |f(y)-f(x)|=|f(y-x)|\leq K\cdot |y-x|\:\: \to [/mm] 0 [mm] \:\: (y\to [/mm] x)
Dabei heisst allgemein [mm] ''\lim_{|y-x|\to 0}|f(y-x)|=0'', [/mm]
dass für jede Folge [mm] y_n,n\in \IN [/mm] von Elementen des normierten Raumes mit der Eigenschaft [mm] \lim_{n\to\infty}|y_n-x|=0
[/mm]
auch [mm] \lim_{n\to\infty}|f(y_n-x)|=0 [/mm] gilt.
Gruss,
Mathias
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