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Beschränktheit: Grenzen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Sa 04.01.2014
Autor: rosapanther

Hey ihr
ich habe folgende Ungleichung vorliegen, die ich beweisen soll:

[mm] \lim_{n\to\infty}inf \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \le \lim_{n\to\infty}inf \wurzel[n]{a_{n}} \le \lim_{n\to\infty}sup \wurzel[n]{a_{n}} \le \lim_{n\to\infty}sup (\frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm]

vorgegeben: die Folge [mm] \frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] ist beschränkt und [mm] a_{n} [/mm] ist eine Folge positiver reeler Zahlen

mein Ansatz:
ich weiß ja, dass die oben angegeben Folge beschränkt ist. Wegen dem Kriterium des Quetschdillemmas(Sandwich Dilemma) kann ich doch dann eigentlich auch annehmen, dass die Folge [mm] \wurzel[n]{a_{n}} [/mm] beschränkt ist oder?. Bzw ich muss hier zeigen, dass es eine Teilfolge ist, oder? Doch wie mache ich dies, wenn ich nicht mehr als die Ungleichung vorgegeben habe?

Liebe Grüße :-)

        
Bezug
Beschränktheit: LaTeX-Notation
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:51 Sa 04.01.2014
Autor: reverend

Hallo rosapanther,

ich habe gerade mal Deinen Frageartikel minimal redigiert, um ihn besser lesbar zu machen.

Dabei habe ich nur einen Backslash vor den [mm] \lim [/mm] gesetzt, damit die Grenzanweisung auch wirklich darunter steht. Für die Schönheit habe ich auch noch den Pfeil eingefügt (statt minus größer), also \to.

Ich glaube aber, dass sich die Aufgabe wie folgt lesen sollte.

Zu zeigen ist:

[mm] \blue{\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \le \liminf_{n\to\infty} \wurzel[n]{a_{n}} \le \limsup_{n\to\infty} \wurzel[n]{a_{n}} \le \limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}} [/mm]

vorgegeben: die Folge [mm] $\blue{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}$ [/mm] ist beschränkt.

Richtig?

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Beschränktheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:02 Sa 04.01.2014
Autor: abakus


> Hallo rosapanther,

>

> ich habe gerade mal Deinen Frageartikel minimal redigiert,
> um ihn besser lesbar zu machen.

>

> Dabei habe ich nur einen Backslash vor den [mm]\lim[/mm] gesetzt,
> damit die Grenzanweisung auch wirklich darunter steht. Für
> die Schönheit habe ich auch noch den Pfeil eingefügt
> (statt minus größer), also [mm][code]\to[/code].[/mm]

>

> Ich glaube aber, dass sich die Aufgabe wie folgt lesen
> sollte.

>

> Zu zeigen ist:

>

> [mm]\blue{\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \le \liminf_{n\to\infty} \wurzel[n]{a_{n}} \le \limsup_{n\to\infty} \wurzel[n]{a_{n}} \le \limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}}[/mm]

>

> vorgegeben: die Folge [mm]\blue{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}[/mm] ist
> [color=blue]beschränkt.[/color]

>

> Richtig?

>

> Grüße
> reverend

Hallo rosapanther,
fehlen da nicht noch ein paar gegebene Bedingungen? So eine Wurzel kann man ja nicht immer bilden...
Gruß Abakus

Bezug
                        
Bezug
Beschränktheit: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:05 Sa 04.01.2014
Autor: rosapanther

ja so ists richtig Danke :-)

achso:-) ich weiß auch noch, das [mm] a_{n} [/mm] eine Folge positiver reeler Zahlen ist

Bezug
        
Bezug
Beschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Sa 04.01.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

die Frage entstammt eigentlich aus der Frage, ob das Quotientenkriterium oder das Wurzelkriterium stärker ist.

Man findet die Beweise zuhauf im Internet.

Referenz ist z.B. auch Wikipedia:
[]http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium#Das_Wurzelkriterium_ist_sch.C3.A4rfer_als_das_Quotientenkriterium

Bezug
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