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Beschränktes Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Do 09.12.2010
Autor: Hanz

Hallo,

mich würde mal interessieren wie man bei einem Beschränkten Wachstum von der Formel: f'(t)=k*(S-f(t)) auf die Formel f(t)=S+(f(0)- [mm] S)*e^{-k*t} [/mm] gelangt.

Dazu muss ich sagen, ich weiss es ist die Lösung der obigen Differentialgleichung, aber wir hatten in der Schule noch keine Integrale. Ich weiss aber, dass f'(t)~S-f(t) ist und man k*(S-f(t)) umschreiben kann zu [mm] e^{k*t}*(S-f(0)). [/mm]
Nun ist aber mein Problem, dass ich in der e-Funktion ein positives Vorzeichen bei k bekommen... was ist mein Fehler?






Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beschränktes Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:25 Sa 11.12.2010
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  
> mich würde mal interessieren wie man bei einem
> Beschränkten Wachstum von der Formel: f'(t)=k*(S-f(t)) auf
> die Formel f(t)=S+(f(0)- [mm]S)*e^{-k*t}[/mm] gelangt.
>  
> Dazu muss ich sagen, ich weiss es ist die Lösung der
> obigen Differentialgleichung, aber wir hatten in der Schule
> noch keine Integrale. Ich weiss aber, dass f'(t)~S-f(t) ist
> und man k*(S-f(t)) umschreiben kann zu [mm]e^{k*t}*(S-f(0)).[/mm]
> Nun ist aber mein Problem, dass ich in der e-Funktion ein
> positives Vorzeichen bei k bekommen... was ist mein
> Fehler?

Hallo,

ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich deine Frage richtig verstanden habe.

Es geht ja um ein Wachstum, welches beschränkt ist durch S mit dem Startwert f(0), welcher kleiner als die Schranke S ist.

Du meinst nun, daß die Funktion f lautet: f(t)=S+(f(0)- [mm] $S)*e^{\red{+}k*t}$ [/mm] mit einem positiven k?


f(0)-S ist negativ, [mm] e^{kt} [/mm] für jeses t positiv. Also wird von der oberen Schranke S immer etwas subtrahiert. das ist ja in Ordnung.
Aber: [mm] e^{kt} [/mm] ist eine monoton wachsende Funktion, somit subtrahierst Du mit wachsendem t immer mehr von S, entfernst Dich also also von S. Und dies ist ja nicht im Sinne des Erfinders...

Wenn Du Deine Funktion  ableitest, bekommst Du
f'(t)=k*(f(0)- [mm] $S)*e^{\red{+}k*t}$. [/mm]
Du kannst Dir überlegen, daß die Ableitung überall negativ ist, die Funktion wächst also nicht.

Wenn Du allerdings sagst: für k<0 beschreibt  f(t)=S+(f(0)- [mm] $S)*e^{\red{+}k*t}$ [/mm] beschränktes Wachstum, dann hast Du recht.


Bei der Dir vorliegenden Funktion f(t)=S+(f(0)- [mm] $S)*e^{\green{-}k*t}$ [/mm] fehlt die Angabe, daß k>0 ist.

Gruß v. Angela



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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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