Beschränktes Wachstum < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Do 15.12.2005 | | Autor: | Ynm89 |
| Aufgabe 1 | Bei einem Wachstumsvorgang mit Anfangbestand B(0) = 20 gilt für den Bestand nach t+1 Zeitschritten: B(t+1)=0,7*B(t)+10.
Berechne B(1), B(2).........B(5).
Zeige, dass es sich um beschränktes Wachstum handelt. Bestimme die Schranke S.
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| Aufgabe 2 | Eine Firma bringt in einer Stadt mit 30000 Haushalten einen neuen Haushaltsartikel auf den Markt. In einer Werbeaktion wurde er zuvor bekannt gemacht.
a) Was spricht für die Annahme, dass die Zahl der verkauften Artikel im Laufe der nächsten Monate nach dem Gesetz des beschränkten Wachstums zunehmen wird?
b)Im ersten Monat werden 1800 Stück verkauft. Ist es aufgrund dieser Erfahrung realistisch, dass sich im ersten Halbjahr 10000 Artikel verkaufen lassen? |
ZU AUFGABE 1:
Ich verstehe nicht wie ich mit Hilfe der Formel die in der Aufgabenstellung steht B(1)...... berechnen kann, außerdem kapiere ich nicht wie ich die Schranke S bestimme....
ZU AUFGABE 2:
Muss ich bei dieser Aufgabe überhaupt etwas rechnen oder doch??
Bitte um Hilfe bin leider kein Mathegenie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Bei einem Wachstumsvorgang mit Anfangbestand B(0) = 20 gilt
> für den Bestand nach t+1 Zeitschritten:
> B(t+1)=0,7*B(t)+10.
> Berechne B(1), B(2).........B(5).
> Zeige, dass es sich um beschränktes Wachstum handelt.
> Bestimme die Schranke S.
> Ich verstehe nicht wie ich mit Hilfe der Formel die in der
> Aufgabenstellung steht B(1)...... berechnen kann, außerdem
> kapiere ich nicht wie ich die Schranke S bestimme....
Na, B(1) berechnest du, indem du t=0 setzt. Dann steht ja links B(1) und rechts kannst du dann berechnen: 0,7*B(0)+10 und B(0) ist ja gegeben.
Bei dem Rest muss dir leider jemand anders helfen...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Ynm89,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bei einem Wachstumsvorgang mit Anfangbestand B(0) = 20 gilt
> für den Bestand nach t+1 Zeitschritten:
> B(t+1)=0,7*B(t)+10.
> Berechne B(1), B(2).........B(5).
> Zeige, dass es sich um beschränktes Wachstum handelt.
> Bestimme die Schranke S.
Hierbei handelt es sich um eine Rekurrenzrelation. Man löst so etwas indem man die Rekursion mehrmals auf sich selbst anwendet. Nach einigem Einsetzen kann man dann hoffen ein Bildungsmuster zu entdecken. Mal sehen wie weit ich komme:
[mm]\begin{gathered}
B\left( t \right) = 0.7B\left( {t - 1} \right) + 10 = 0.7\left( {0.7B\left( {t - 2} \right) + 10} \right) + 10 \hfill \\
= 0.7^2 B\left( {t - 2} \right) + 0.7^1 \cdot 10 + 0.7^0 \cdot 10 \hfill \\
= 0.7^2 \left( {0.7B\left( {t - 3} \right) + 10} \right) + 0.7^1 \cdot 10 + 0.7^0 \cdot 10 \hfill \\
= 0.7^3 B\left( {t - 3} \right) + 0.7^2 \cdot 10 + 0.7^1 \cdot 10 + 0.7^0 \cdot 10 \hfill \\
= \cdots = 0.7^i B\left( {t - i} \right) + 0.7^{i - 1} \cdot 10 + \cdots + 0.7^0 \cdot 10 \hfill \\
= 0.7^i B\left( {t - i} \right) + \sum\limits_{k = 0}^{i - 1} {0.7^k \cdot 10} \mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{Formel für}} \\
{\text{geometrische}} \\
{\text{Reihe}}
\end{subarray}} 0.7^i B\left( {t - i} \right) + 10\frac{{0.7^i - 1}}
{{0.7 - 1}} \hfill \\
= \cdots = 0.7^t B\left( {\underbrace {t - t}_0} \right) + 10\frac{{0.7^t - 1}}
{{0.7 - 1}} = 20 \cdot 0.7^t - \frac{{100}}
{3}\left( {0.7^t - 1} \right) \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Da wir hier unsere Intuition für das Bildungsmuster benutzt haben, müssen wir noch einen exakten Beweis führen:
[mm]\underline{\texttt{Induktionsanfang }\left(t = 0\right):}[/mm]
[mm]B\left( 0 \right) = 20 = 20 \cdot 0.7^0 - \frac{{100}}
{3}\left( {1 - 1} \right) = 20 \cdot 0.7^0 - \frac{{100}}
{3}\left( {0.7^0 - 1} \right)\;\Diamond[/mm]
Induktionsannahme:
Angenommen die Aussage wäre für $t [mm] \in \mathbb{N}_0$ [/mm] bewiesen.
[mm]\underline{\texttt{Induktionsschritt }\left(t \leadsto t+1\right):}[/mm]
[mm]\begin{gathered}
B\left( {t + 1} \right)\mathop = \limits^{{\text{Definition}}} 0.7B\left( t \right) + 10\mathop = \limits^{{\text{Induktionsannahme}}} 0.7\left( {20 \cdot 0.7^t - \frac{{100}}
{3}\left( {0.7^t - 1} \right)} \right) + 10 \hfill \\
= 20 \cdot 0.7^{t + 1} - \frac{{100}}
{3}\left( {0.7^{t + 1} - 0.7} \right) + 10 = 20 \cdot 0.7^{t + 1} - \frac{{100}}
{3} \cdot 0.7^{t + 1} + \frac{{100}}
{3} \cdot 0.7 + 10 \hfill \\
= 20 \cdot 0.7^{t + 1} - \frac{{100}}
{3} \cdot 0.7^{t + 1} + \frac{{700}}
{{30}} + \frac{{300}}
{{30}} = 20 \cdot 0.7^{t + 1} - \frac{{100}}
{3} \cdot 0.7^{t + 1} + \frac{{1000}}
{{30}} \hfill \\
= 20 \cdot 0.7^{t + 1} - \frac{{100}}
{3} \cdot 0.7^{t + 1} + \frac{{100}}
{3} = 20 \cdot 0.7^{t + 1} - \frac{{100}}
{3}\left( {0.7^{t + 1} - 1} \right)\;\Box \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Unsere Intuition hat uns also nicht getäuscht.
Jetzt betrachten wir den Grenzwert für $t [mm] \to \infty$:
[/mm]
[mm]\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {20 \cdot \frac{{7^t }}
{{10^t }} - \frac{{100}}
{3}\left( {\frac{{7^t }}
{{10^t }} - 1} \right)} \right)\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
10^t {\text{ wächst}} \\
{\text{schneller als}} \\
7^t
\end{subarray}} - \frac{{100}}
{3} \cdot \left( { - 1} \right) = \frac{{100}}
{3} \approx 33.3[/mm]
Also ist dies unser S, und die Beschränktheit von [mm] $B\left(t\right)$ [/mm] ist gezeigt.
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Fr 16.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Im ersten Teil der Aufgabe sollst du nur überlegen, was dafür oder dagegen spricht, dass ein Wachstum wie in 1 eintreten kann. Das könnte genau die Formel sein, nur mit anderen Anfangswert B(0) oder eine entsprechende :B(t+1)=q*B(t)+a ,q<1. Stee dir vor, du willst einen Investor überzeugen, dass es sich lohnt, oder nem Freund raten oder abraten die Aktie zu kaufen!
Im 2. Teil rechnest du B(6mon) mit der Formel aus 1 aus, mit B(0)=1800, eventuell probierst du noch andere a als 10 aus. oder andere q als 0,7
Gruss leduart
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