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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Sa 11.02.2012 | | Autor: | MasterD |
| Aufgabe | Sei P = [mm] conv(M_1) [/mm] + [mm] cone(M_2). [/mm] Zeigen sie folgende Äquivalenzen:
a) P ist beschränkt
b) [mm] M_2 [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] oder [mm] M_2 [/mm] = {0} |
Hallo, ich habe obige Aufgabe und weiß absolut nicht, wie ich da rangehen soll. Zur Verfügung habe ich den Satz von Minkowski-Weyl, der besagt, dass P = [mm] conv(M_1) [/mm] + [mm] cone(M_2) [/mm] wobei ich ja weiß, dass [mm] M_1 [/mm] in Wirklichkeit die Menge der Ecken ist und das [mm] M_2 [/mm] die Menge der Extremalen ist. Zu dem haben wir vor längerer Zeit in der Vorlesung ein Korollar ohne Namen gehabt (muss wohl zu besagtem Satz gewesen sein), dass
P Polytop <--> P = conv(V)
Ich würde es jetzt so ungefähr versuchen:
a) -> b)
P beschränkt, heißt P ist Polytop. Aus P Polytop folgt aber, dass P = [mm] conv(M_1). [/mm] Also existiert keine Extremale (da sonst P unbeschränkt wäre), also bleibt für [mm] M_2 [/mm] nur noch die leere Menge oder die Null übrig. Wir hatten als Setzung [mm] cone(\emptyset) [/mm] = 0.
b) -> a)
Sei [mm] M_2 [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] oder [mm] M_2 [/mm] = 0 --> [mm] cone(M_2) [/mm] = 0 . Daraus mit obigem wieder P = [mm] conv(M_1) [/mm] und damit ist P Polytop, also beschränkt.
Kommt mir ziemlich einfach vor.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Stoecki |
im großen und ganzen ist das richtig was du schreibst. der vollständigkeit halber würde ich aber noch einige zwischenschritte einfügen:
a) -> b)
P beschränkt, heißt P ist Polytop. Aus P Polytop folgt aber, dass P = [mm] conv(M_1) [/mm] = [mm] conv(M_1) [/mm] + cone(0). Also [mm] cone(M_2) [/mm] = cone (0) und damit [mm] M_2 [/mm] = 0 oder [mm] M_2 [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
b) -> a)
Sei $ [mm] M_2 [/mm] $ = $ [mm] \emptyset [/mm] $ oder $ [mm] M_2 [/mm] $ = 0 --> $ [mm] cone(M_2) [/mm] $ = 0 . Daraus mit obigem wieder P = [mm] conv(M_1) +cone(M_2) [/mm] = [mm] conv(M_1) [/mm] + 0 = [mm] conv(M_1) [/mm] und damit ist P Polytop, also beschränkt.
gruß bernhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Mo 13.02.2012 | | Autor: | MasterD |
Ok, vielen Dank. :)
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