Beschränkte Jacobi-Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:53 Do 10.06.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | a) Sei [mm] $D\subset\IR^n$ [/mm] eine offene konvexe Menge und [mm] $f:D\rightarrow\IR^n$ [/mm] eine differenzierbare Abbildung mit gleichmäßig beschränkter Jacobimatrix
[mm]\underset{x \in D}{sup} ||J_f(x)||_{2}\le{K_{2}}<{\infty}[/mm]
Man zeige, dass f dann in D Lipschitz-stetig ist, d.h.
[mm]||f(x)-f(y)||_{2}\le{K_{2}||y-x||_{2}}\qquad x,y \in D[/mm]
b) Gilt eine analoge Aussage auch, wenn man die Spektralnorm [mm] $||*||_2$ [/mm] durch eine beliebige andere (natrürliche) Matrixnorm $||*||$ ersetzt? |
Hallo,
für Aufgabenteil a) habe ich eine Lösung, bin mir aber mit der Argumentation noch nicht ganz sicher:
Seien $x,y [mm] \in [/mm] D$. Da D konvex, gilt für alle [mm] $t\in [0,1]\subset\IR$, [/mm] dass $x+t(y-x) [mm] \in [/mm] D$
Wir definieren [mm] $g:[0,1]\rightarrow\IR^n$, $t\mapsto{g(t)}:=f(x+t(y-x))$
[/mm]
Daraus folgt für die i-te Komponente von f, $i [mm] \in [/mm] {1,...,n}$:
[mm] f_{i}(y)-f_{i}(x)=g_{i}(1)-g_{i}(0)=\int_{0}^{1}g_{i}'(s)ds=\int_{0}^{1}\sum_{j=1}^{n}\partial_{j}f_{i}(x+s(y-x))(y_{j}-x_{j})ds[/mm]
[mm]\Rightarrow{f(y)-f(x)=\int_{0}^{1}J_{f}(x+s(y-x))(y-x)ds}[/mm]
[mm]\Rightarrow{||f(y)-f(x)||_{2}\le\int_{0}^{1}||J_{f}(x+s(y-x))(y-x)||_{2}ds}\le{K_{2}}||y-x||_{2} [/mm]
wobei im letzten Schritt die Stadndardabschätzung für Integrale verwendet wurde.
b) Hier habe ich keine Idee woran der analoge Beweis für eine andere Matrixnorm scheitern könnte. Für die Normen [mm] $||*||_\infty$ [/mm] und [mm] $||*||_1$ [/mm] gilt die Aussage auch, das habe ich gezeigt. Allerdings käme mir die Frage dann doch überflüssig vor. Also woran könnte ich bei anderen Matrixnormen scheitern? Gibt es ein Gegenbeispiel?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:47 Sa 12.06.2010 | | Autor: | max3000 |
> Hallo,
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> für Aufgabenteil a) habe ich eine Lösung, bin mir aber
> mit der Argumentation noch nicht ganz sicher:
>
> Seien [mm]x,y \in D[/mm]. Da D konvex, gilt für alle [mm]t\in [0,1]\subset\IR[/mm],
> dass [mm]x+t(y-x) \in D[/mm]
> Wir definieren
> [mm]g:[0,1]\rightarrow\IR^n[/mm], [mm]t\mapsto{g(t)}:=f(x+t(y-x))[/mm]
> Daraus folgt für die i-te Komponente von f, [mm]i \in {1,...,n}[/mm]:
>
> [mm]f_{i}(y)-f_{i}(x)=g_{i}(1)-g_{i}(0)=\int_{0}^{1}g_{i}'(s)ds=\int_{0}^{1}\sum_{j=1}^{n}\partial_{j}f_{i}(x+s(y-x))(y_{j}-x_{j})ds[/mm]
> [mm]\Rightarrow{f(y)-f(x)=\int_{0}^{1}J_{f}(x+s(y-x))(y-x)ds}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow{||f(y)-f(x)||_{2}\le\int_{0}^{1}||J_{f}(x+s(y-x))(y-x)||_{2}ds}\le{K_{2}}||y-x||_{2}[/mm]
> wobei im letzten Schritt die Stadndardabschätzung für
> Integrale verwendet wurde.
Im letzten Schritt benutzt du eigentlich die Submultiplikativität der Norm, also
[mm] \|J_{f}(x+s(y-x))(y-x)\|\le\|J_{f}(x+s(y-x))\|\|(y-x)\||
[/mm]
und die Beschränktheit der Jacobimatrix
[mm] \|J_{f}(x+s(y-x))\|<\infty [/mm] und [mm] K_2:=max_{s\in(0,1)}\|J_{f}(x+s(y-x))\|
[/mm]
Das wäre denke ich die richtige Argumentation. Das [mm] \|x-y\| [/mm] und [mm] K_2 [/mm] hängen nun nicht mehr von s ab und können aus dem Integral rausgezogen werden.
> b) Hier habe ich keine Idee woran der analoge Beweis für
> eine andere Matrixnorm scheitern könnte. Für die Normen
> [mm]||*||_\infty[/mm] und [mm]||*||_1[/mm] gilt die Aussage auch, das habe
> ich gezeigt. Allerdings käme mir die Frage dann doch
> überflüssig vor. Also woran könnte ich bei anderen
> Matrixnormen scheitern? Gibt es ein Gegenbeispiel?
Ich weiß das leider auch nicht so genau aber ich denke du solltest dir den Begriff "Normverträglichkeit" mal anschauen. Der besagt, dass man folgende Abschätzung gilt:
[mm] \|Av\|\le\|A\|\|v\|
[/mm]
Schau einfach hier nochmal nach: http://de.wikipedia.org/wiki/Normierter_Raum#Matrixnormen
Da wir diese Abschätzung im letzten Schritt gebraucht haben, geht unser Beweis in diesem Fall nicht mehr. Vielleicht findest du mal ein Matrix-Vektor Normpaar, was nicht verträglich ist und findest eventuell ein Gegenbeispiel.
Genaueres kann ich dir leider erstmal auch nicht sagen.
Grüße
Max
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