Beschleunigung als Funktion... < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] x(t)=x_{0}+v_{0}t+\integral_{0}^{t}\integral_{0}^{\lambda}a(\lambda^{\*})d\lambda^{\*}d\lambda
[/mm]
Mittels partieller Integration kann das Doppelintegral vereinfacht werden, es verbleibt
[mm] x(t)=x_{0}+v_{0}t+\integral_{0}^{t}(t-\lambda)a(\lambda)d\lambda [/mm] |
Hallo,
wir hatten heute in der TM-Vorlesung die Vereinfachung, aber ich kann sie leider nicht nachvollziehen. Wie kann man das mit der partiellen Integration vereinfachen?
Danke vorab.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Mo 18.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]x(t)=x_{0}+v_{0}t+\integral_{0}^{t}\integral_{0}^{\lambda}a(\lambda^{\*})d\lambda^{\*}d\lambda[/mm]
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> Mittels partieller Integration kann das Doppelintegral
> vereinfacht werden, es verbleibt
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> [mm]x(t)=x_{0}+v_{0}t+\integral_{0}^{t}(t-\lambda)a(\lambda)d\lambda[/mm]
> Hallo,
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> wir hatten heute in der TM-Vorlesung die Vereinfachung,
> aber ich kann sie leider nicht nachvollziehen. Wie kann man
> das mit der partiellen Integration vereinfachen?
Es geht um die partielle Integration im äußeren Integral. Du schreibst
[mm] u(\lambda) = \integral_{0}^{\lambda}a(\lambda^{\ast})d\lambda^{\ast} [/mm], [mm] v'(\lambda) = 1 [/mm]
und integrierst [mm] $\integral_{0}^{t}u(\lambda) v'(\lambda) d\lambda$ [/mm] partiell.
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo!
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> [mm]x(t)=x_{0}+v_{0}t+\integral_{0}^{t}\integral_{0}^{\lambda}a(\lambda^{\*})d\lambda^{\*}d\lambda[/mm]
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> > Mittels partieller Integration kann das Doppelintegral
> > vereinfacht werden, es verbleibt
> >
> >
> [mm]x(t)=x_{0}+v_{0}t+\integral_{0}^{t}(t-\lambda)a(\lambda)d\lambda[/mm]
> > Hallo,
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> > wir hatten heute in der TM-Vorlesung die Vereinfachung,
> > aber ich kann sie leider nicht nachvollziehen. Wie kann man
> > das mit der partiellen Integration vereinfachen?
>
> Es geht um die partielle Integration im äußeren Integral.
> Du schreibst
>
> [mm]u(\lambda) = \integral_{0}^{\lambda}a(\lambda^{\ast})d\lambda^{\ast} [/mm],
> [mm]v'(\lambda) = 1[/mm]
>
> und integrierst [mm]\integral_{0}^{t}u(\lambda) v'(\lambda) d\lambda[/mm]
> partiell.
>
Die allgemeine Form lautet ja: [mm] \integral_{a}^{b}f'(\lambda)*g(\lambda)d\lambda=[f(\lambda)*g(\lambda)]_{a}^{b}-\integral_{a}^{b}f(\lambda)*g'(\lambda)d\lambda
[/mm]
[mm] g(\lambda)=\integral_{0}^{\lambda}a(\lambda^{\ast})d\lambda^{\ast} [/mm] und
[mm] f'(\lambda)=1
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{t}\integral_{0}^{\lambda}a(\lambda^{\ast})d\lambda^{\ast}d\lambda=[\lambda*\integral_{0}^{\lambda}a(\lambda^{\ast})d\lambda^{\ast}]_{0}^{t}-\integral_{0}^{t}\lambda*1d\lambda=... [/mm] korrekt bisher?
ist [mm] g'(\lambda)=1 [/mm] ?
merci beaucoup.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 So 24.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
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> [mm]x(t)=x_{0}+v_{0}t+\integral_{0}^{t}\integral_{0}^{\lambda}a(\lambda^{\*})d\lambda^{\*}d\lambda[/mm]
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> > > Mittels partieller Integration kann das Doppelintegral
> > > vereinfacht werden, es verbleibt
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> [mm]x(t)=x_{0}+v_{0}t+\integral_{0}^{t}(t-\lambda)a(\lambda)d\lambda[/mm]
> > > Hallo,
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> > > wir hatten heute in der TM-Vorlesung die Vereinfachung,
> > > aber ich kann sie leider nicht nachvollziehen. Wie kann man
> > > das mit der partiellen Integration vereinfachen?
> >
> > Es geht um die partielle Integration im äußeren Integral.
> > Du schreibst
> >
> > [mm]u(\lambda) = \integral_{0}^{\lambda}a(\lambda^{\ast})d\lambda^{\ast} [/mm],
> > [mm]v'(\lambda) = 1[/mm]
> >
> > und integrierst [mm]\integral_{0}^{t}u(\lambda) v'(\lambda) d\lambda[/mm]
> > partiell.
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> Die allgemeine Form lautet ja:
> [mm]\integral_{a}^{b}f'(\lambda)*g(\lambda)d\lambda=[f(\lambda)*g(\lambda)]_{a}^{b}-\integral_{a}^{b}f(\lambda)*g'(\lambda)d\lambda[/mm]
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> [mm]g(\lambda)=\integral_{0}^{\lambda}a(\lambda^{\ast})d\lambda^{\ast}[/mm]
> und
>
> [mm]f'(\lambda)=1[/mm]
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> [mm]\integral_{0}^{t}\integral_{0}^{\lambda}a(\lambda^{\ast})d\lambda^{\ast}d\lambda=[\lambda*\integral_{0}^{\lambda}a(\lambda^{\ast})d\lambda^{\ast}]_{0}^{t}-\integral_{0}^{t}\lambda*1d\lambda=...[/mm]
> korrekt bisher?
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> ist [mm]g'(\lambda)=1[/mm] ?
Nein, wie kommst du denn da drauf? Hauptsatz der Integralrechnung: [mm] $g'(\lambda)=a(\lambda)$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Di 19.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Anderer Weg:
Setze
$ [mm] y(t)=x_{0}+v_{0}t+\integral_{0}^{t}(t-\lambda)a(\lambda)d\lambda [/mm] $
Zu zeigen ist: x(t)=y(t)
Differentiation und der Hauptsatz der Diferential - und Integralrechnung liefern:
$x'(t)= [mm] v_0+\integral_{0}^{t}{a(\lambda) d \lambda}= [/mm] y'(t)$.
Somit gibt es ein c [mm] \in \Ir [/mm] mit: x(t)= y(t)+c
Wegen x(0)=y(0) ist c=0
FRED
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