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| Aufgabe | Es sei [mm] \{a_{n}\} [/mm] eine Folge positiver reele Zahlen. Beweisen Sie: Falls [mm] \{a_{n}\} [/mm] keinen Berührungspunkt besitzt, so ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Bemerkung: Für eine positive Folge [mm] \{a_{n}\}_{n \in \IN} [/mm] schreiben wir [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \infty [/mm] genau dann, wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{a_{n}} [/mm] = 0 |
Meine Beweisidee:
[mm] \{a_{n}\} [/mm] besitzt keinen Berührpunkt
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] keine konvergente Teilfolge von [mm] \{a_{n}\} [/mm] die gegen ein a konvergiert
[mm] \Rightarrow [/mm] alle Teilfolgen von [mm] \{a_{n}\} [/mm] divergent
[mm] \Rightarrow [/mm] alle Teilfolge von [mm] \{a_{n}\} [/mm] divergieren gegen [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty
[/mm]
Da aber nach Vorraussetzung [mm] a_{n} \ge [/mm] 0 und somit auch alle Teilfolge [mm] \ge [/mm] 0 sind
[mm] \Rightarrow [/mm] alle Teilfolge von [mm] \{a_{n}\} [/mm] divergieren gegen [mm] +\infty [/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Da ich die Bemerkung gar nicht gebraucht habe wollte ich mal wissen ob dieser Beweis so ok und schlüssig ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Do 11.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]\{a_{n}\}[/mm] eine Folge positiver reele Zahlen.
> Beweisen Sie: Falls [mm]\{a_{n}\}[/mm] keinen Berührungspunkt
> besitzt, so ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> Bemerkung: Für eine positive Folge [mm]\{a_{n}\}_{n \in \IN}[/mm]
> schreiben wir [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> genau dann, wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{a_{n}}[/mm]
> = 0
> Meine Beweisidee:
>
> [mm]\{a_{n}\}[/mm] besitzt keinen Berührpunkt
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] keine konvergente Teilfolge von
> [mm]\{a_{n}\}[/mm] die gegen ein a konvergiert
> [mm]\Rightarrow[/mm] alle Teilfolgen von [mm]\{a_{n}\}[/mm] divergent
> [mm]\Rightarrow[/mm] alle Teilfolge von [mm]\{a_{n}\}[/mm] divergieren gegen
> [mm]+\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm]
also irgendwie geht die Begründung hier ein wenig unter. Das sieht so aus, als wenn i.a. aus der Divergenz einer Teilfolge folgen würde, dass die Teilfolge gegen $+ [mm] \infty$ [/mm] oder $- [mm] \infty$ [/mm] streben müsste. Und das ist natürlich Unsinn.
(Bsp: [mm] $a_n=1/2$, [/mm] falls $n-1$ durch $3$ teilbar, [mm] $a_n=1$, [/mm] falls $n-2$ durch $3$ teilbar, [mm] $a_n=n$, [/mm] falls $n$ durch $3$ teilbar;
Die Teilfolge [mm] $(a_1,a_2,a_4, a_5, a_7, a_8,....)=(1/2,\;1,\;1/2,\;1,\;1/2,\;1,\;...)$ [/mm] divergiert auch, aber nicht gegen $+ [mm] \infty$.)
[/mm]
Also irgendwas stört mich an Deinem Beweis, der ist irgendwie in einer logisch unpassenden Reihenfolge:
Das müsste schon eher so anfangen:
[mm] $\{a_n\}$ [/mm] besitzt keinen Berührpunkt
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] es existiert keine Teilfolge, die konvergiert. Jede Teilfolge von [mm] $\{a_n\}$ [/mm] besteht aber insbesondere auch nur aus positiven Folgegliedern, so dass für jede Teilfolge [mm] $\{a_{n_k}\}$ [/mm] kein $a [mm] \ge [/mm] 0$ existiert, gegen das die TF konvergieren könnte.
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Und irgendwie erscheint mir das nicht passend bzw. ich habe das Gefühl, dass wir uns da im Kreise drehen. Denn hier ist es doch eigentlich so, dass man für eine jede TF von [mm] $\{a_n\}$ [/mm] eigentlich nur erkennt, dass sie die gleichen Eigenschaften wie [mm] $\{a_n\}$ [/mm] selber hat, wenn Du den Beweis so aufbaust. Das führt dann dazu, dass Du nachher an einer Stelle das benutzt, was Du zeigen sollst (zumal die Aussage ja auch intuitiv so logisch erscheint, dass man das übersieht!). Und das kann nicht der Sinn eines Beweises sein!
Also folgendes:
Sei [mm] $\{a_n\}$ [/mm] eine Folge positiver reeller Zahlen ohne Berührpunkt (BP). Zu zeigen ist [mm] $\lim_{n \to \infty} 1/a_n=0\,.$
[/mm]
Wir betrachten nun folgende zwei Fälle, und zeigen, dass diese nicht auftreten können:
1. Fall:
Wir nehmen an, dass die Folge [mm] $\{1/a_n\}$ [/mm] zwar konvergiere, aber nicht gegen [mm] $\,0\,$. [/mm] Dann muss aber [mm] $\{1/a_n\}$ [/mm] gegen ein $b > 0$ konvergieren (Warum?). Daraus leitet sich leicht ab, dass dann aber [mm] $\{a_n\}$ [/mm] gegen $1/b [mm] \;\;\;(> [/mm] 0)$ konvergieren würde (Warum?). Kann das sein, wenn [mm] $\{a_n\}$ [/mm] keinen BP hat?
2. Fall:
Wir nehmen an, dass [mm] $\{1/a_n\}$ [/mm] divergiere. Es ist klar, dass [mm] $\{a_n\}$ [/mm] nach Voraussetzung nach oben unbeschränkt ist (das ist zwar (mir) klar, aber nicht ganz trivial; also: Warum gilt das?) und damit $0$ ein Berührpunkt von [mm] $\{1/a_n\}$ [/mm] ist. Weil [mm] $\{1/a_n\}$ [/mm] auch eine Folge mit positiven Folgegliedern ist und wir hier voraussetzen, dass [mm] $\{1/a_n\}$ [/mm] divergiere, muss es (wenigstens) einen weiteren Berührpunkt $b > 0$ für [mm] $\{1/a_n\}$ [/mm] geben. Dann existiert aber eine Teilfolge [mm] $\{1/a_{n_k}\}_k$ [/mm] von [mm] $\{1/a_n\}$ [/mm] mit [mm] $1/a_{n_k} \to [/mm] b$ ($k [mm] \to \infty$). [/mm] Was heißt das nun für [mm] $a_{n_k}$ [/mm] in Bezug zu $1/b$? Wieso widerspricht das der Vorrausetzung, dass [mm] $\{a_n\}$ [/mm] keine BP hat?
Gruß,
Marcel
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