Berührpunkte mit Kugel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Sa 04.02.2006 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | Wir haben im Raum eine Kugel mit dem Mittelpunkt M(5|6|3) und dem Radius r=4 gegeben. (Der Ursprung liegt außerhalb der Kugel, da seine Entfernung von M größer als r ist.)
Bestimme drei Punkte auf der Kugeloberfläche, in denen die Tangente auch durch den Ursprung verläuft. |
Wie macht man das? Ich habe keine Ahnung. (Ich habe diese Frage nirgends sonst gestellt!)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Sa 04.02.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo MasterEd
Aus der Ebene sollte bekannt sein, dass im Berührungspunkt B die Tangente senkrecht steht zum Kreisradius MB. Das gleiche gilt für die Kurve.
Wenn $B(x,y,z)$ dann muss $B$ zwei Bedingungen erfüllen:
1) [mm] $|\overrightarrow{MB}|=4$ [/mm] und
2) [mm] $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ [/mm] (O: Koordinatenursprung)
Das ergibt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für die unbekannten x, y, z. Davon sind 3 Lösungen gesucht.
Alternativ kann man sich auch überlegen, dass alle möglichen Berührungspunkte B einen Kreis bilden, dessen Mittelpunkt N auf der Geraden OM liegt. N muss man so bestimmen, dass
[mm] $|\overrightarrow{NM}||\overrightarrow{OM}|=r^2$ [/mm] (Kathetensatz für das rechtwinklige Dreieck OMB.
Dann kann man die Normalebene (normal zu OM) durch N mit der Kugel schneiden, um den Kreis zu erhalten.
mfG Moudi
|
|
|
|
