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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:16 So 11.11.2007 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Zeige, dass g=(PQ) keinen Punkt mit der Kugel K gemeinsam hat. Bestimme dann die Berührpunkte der beiden Ebenen, die durch g gehen und die Kugel berühren. |
Hi, Leute!
P(5|2|1), Q(6|2|-1), K: [mm] [\vec{x}-\vektor{1 \\ 2 \\ 0}]²=9
[/mm]
(Ja, g passiert K.)
Mein Ansatz zum 2. Teil ist folgender:
B(a|b|c) sein mein Berührpunkt.
B [mm] \in [/mm] K [mm] \Rightarrow [/mm] (a-1)²+(b-2)²+c²=9
Außerdem muss gelten:
[mm] \overrightarrow{MB}*\overrightarrow{PB}=0
[/mm]
und
[mm] \overrightarrow{MB}*\overrightarrow{QB}=0,
[/mm]
da P und Q ja auf g liegen und g [mm] \in [/mm] T ist, wenn T die Tangentialebene ist (könnte man nun noch genauer machen, aber ich bleibe erst einmal dabei).
Nun hat man also:
(a-1)²+(b-2)²+c²=9
(a-1)(a-5)+(b-2)(b-2)+c(c-1)=0
(a-1)(a-6)+(b-2)(b-2)+c(c+1)=0
Das kann man dann lösen und erhält seine 2 Lösungen für jede Variable.
[mm] (B_1(3|0|1), B_2(3|4|1))
[/mm]
Schön und gut, aber gibt es nicht einen schnelleren und eleganteren Weg zum Ziel? Weiß da jemand etwas? Sitze da sicher schon 2 Stunden dran aber mir will einfach nichts besseres einfallen. Bitte um Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 So 11.11.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> Bestimme dann die Berührpunkte der beiden Ebenen, die
> durch g gehen und die Kugel berühren.
Das mit dem "durch g gehen" ist mir nicht klar. Es ist nicht gesagt, dass die Ebenen durch P und Q gehen sollen - also könnten sie auch durch jeden anderen Punkt der Gerade g gehen, und dann gäbe es unendlich viele Lösungen.
> Schön und gut, aber gibt es nicht einen schnelleren und
> eleganteren Weg zum Ziel? Weiß da jemand etwas? Sitze da
> sicher schon 2 Stunden dran aber mir will einfach nichts
> besseres einfallen.
Der Weg war doch schon recht kurz. Warum sitzt du 2 Stunden daran?
Außerdem ist es letztlich egal, wie man zum Ziel kommt.
Nicht jede Aufgabe ist "schnell" zu lösen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 So 11.11.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> Außerdem muss gelten:
> [mm]\overrightarrow{MB}*\overrightarrow{PB}=0[/mm]
> und
> [mm]\overrightarrow{MB}*\overrightarrow{QB}=0,[/mm]
Entweder bin ich jetzt total auf dem Holzweg oder ...
Du müsstest doch eigentlich den Punkt mit dem kürzesten Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Geraden bestimmen anstelle von P und Q
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 So 11.11.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Ich habe mal eine nicht-maßstabsgerechte (!!) Skizze gemacht, damit man sich das vorstellen kann.
K ist der Punkt auf g mit dem kürzesten Abstand zu M.
Nur in K und B ist ein rechter Winkel (Skalarprodukt NULL).
P und Q dagegen liegen "irgendwo" auf g.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 So 11.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo rabilein,
wie die Aufgabe zu verstehen war, geht aus Roberts Lösung hervor:
Gesucht sind die Tangentialebenen an eine Kugel, die eine gegebene Gerade enthalten.
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 So 11.11.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Meine Skizze ist irgendwie blöd. Aber ich kann nicht dreidimensional zeichnen.
> Gesucht sind die Tangentialebenen an eine Kugel, die eine
> gegebene Gerade enthalten.
Genau so hatte ich das auch verstanden.
> wie die Aufgabe zu verstehen war, geht aus Roberts Lösung
> hervor.
Gerade diese Lösung hatte mich verwirrt (das mit den beiden Skalarprodukten - weil P und Q beliebige Punkte auf der Geraden sind. Diese Punkte könnten doch "meilenweit" von der Kugel entfernt liegen. Wo ist denn dann der rechte Winkel = Skalarprodukt gleich Null?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 So 11.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
B liegt in T, g liegt in T. Damit liegt auch jeder Punkt von g in T.
Also muss auch die Verbindungsgerade von B und jedem Punkt von g in T liegen (also auch (BP) und (BQ))! Damit ist jede dieser Geraden eine Tangente durch B an K, die mit (MB) einen rechten Winkel einschließen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Mo 12.11.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Du hast völlig Recht.
Dreidimensionale Dinge kann ich mir nie so gut vorstellen. Aber ich habe das mit Hilfe eines Balles und einer Platte rekonstruiert. Und JEDER Punkt der Platte steht dann im Berührpunkt im Rechten Winkel zum Mittelpunkt des Balles. Das war mir vorher nicht so bewusst.
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Man lernt halt nie aus :) aber solang man es nachvollziehen und dann auch selber anwenden kann, geht das ja schon.
Und du scheinst dir ja auch zu helfen zu wissen :) schon praktisch, dass der [mm] \IR³ [/mm] so lebensnah ist :P meine Lehrerin fuchtelt auch öfters wild mit Zeigestöcken umher um irgendwelche Sachverhalte mit Geraden zu verdeutlichen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 So 11.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Robert,
> Zeige, dass g=(PQ) keinen Punkt mit der Kugel K gemeinsam
> hat. Bestimme dann die Berührpunkte der beiden Ebenen, die
> durch g gehen und die Kugel berühren.
> Hi, Leute!
>
> P(5|2|1), Q(6|2|-1), K: [mm][\vec{x}-\vektor{1 \\ 2 \\ 0}]²=9[/mm]
>
> (Ja, g passiert K.)
das solltest du aber noch mit einer Berechnung des Abstandes von g zum Mittelpunkt der Kugel begründen.
> Mein Ansatz zum 2. Teil ist folgender:
>
> B(a|b|c) sein mein Berührpunkt.
>
> B [mm]\in[/mm] K [mm]\Rightarrow[/mm] (a-1)²+(b-2)²+c²=9
>
> Außerdem muss gelten:
> [mm]\overrightarrow{MB}*\overrightarrow{PB}=0[/mm]
> und
> [mm]\overrightarrow{MB}*\overrightarrow{QB}=0,[/mm]
> da P und Q ja auf g liegen und g [mm]\in[/mm] T ist, wenn T die
> Tangentialebene ist (könnte man nun noch genauer machen,
> aber ich bleibe erst einmal dabei).
>
> Nun hat man also:
>
> (a-1)²+(b-2)²+c²=9
> (a-1)(a-5)+(b-2)(b-2)+c(c-1)=0
> (a-1)(a-6)+(b-2)(b-2)+c(c+1)=0
>
> Das kann man dann lösen und erhält seine 2 Lösungen für
> jede Variable.
> [mm](B_1(3|0|1), B_2(3|4|1))[/mm]
>
> Schön und gut, aber gibt es nicht einen schnelleren und
> eleganteren Weg zum Ziel?
Die Bewertung "schneller" oder "eleganter" trägt immer zu gewissem Maße auch eine subjektive Note.
Aber einen Weg, den jeder "schneller" oder "eleganter" finden würde, gibt es hier sicher nicht.
LG
Will
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 So 11.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo nochmal!
Ok, dankeschön!
Ja, das mit der Geraden g habe ich schon davor gemacht (g in K eingesetzt, keine Wert für t [mm] \in \IR [/mm] erhalten).
Nagut, dann lag ich ja doch nicht ganz so schlecht.
Und ja, die beiden Ebenen sollten beide durch die Gerade g gehen, also sich in ihr schneiden.
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