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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Berührpunkt zweier Funktionen
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Berührpunkt zweier Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:21 Do 08.02.2007
Autor: TopHat

Aufgabe
wie muss a gewählt werden, damit [mm] f(x)=e^x [/mm] und [mm] g(x)=ax^3 [/mm] sich berühren. Bestimmen sie den Berührpunkt.

Also die Ableitungen habe ich gebildet:
[mm] f'(x)=e^x [/mm]        g'(x)= [mm] 3ax^2 [/mm]
Ich weiß, dass beim Berührpunkt diese beiden Ableitungen gleich sein müssen. Und ich weiß, dass der Berührpunkt irgendwo bei x>0 und y>0 sein muss.

Wenn ich die Funktionen nun gleichsetze:
f(x)=g(x)
[mm] e^x=ax^3 [/mm]
komme ich auf

[mm] a=\bruch{e^x}{x^3} [/mm]

Das bringt mir jetzt aber gar nichts, denn ich muss doch a konkret bestimmen? Wie kann ich das denn machen?



        
Bezug
Berührpunkt zweier Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 Do 08.02.2007
Autor: M.Rex

Hallo

Du sollst ja a und x so bestimmen, dass sich f(x) und g(x) berühren.

Also muss, wie du schon richtig erkannt hast, gelten f(x)=g(x)

Das heisst, [mm] e^{x}=ax³ [/mm]

Aber, da sie sich berühren sollen, müssen sie an der Stelle x die gleiche Steigung haben, also muss zusätzlich gelten:

f'(x)=g'(x)

Also

[mm] e^{x}=3ax² [/mm]

Jetzt hast du also folgende beiden Bedingungen

[mm] e^{x}=ax³ [/mm]
[mm] e^{x}=3ax² [/mm]

Hilft das erstmal weiter?

Marius

Bezug
                
Bezug
Berührpunkt zweier Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:31 Do 08.02.2007
Autor: TopHat

also muss x=3 gelten, für a [mm] also\bruch{e^3}{27} [/mm] bzw

a = [mm] (\bruch{e}{3})^3 [/mm]

und für f(3)= [mm] e^3 [/mm]

denke ich mal.

Danke für die schnelle Antwort.



Bezug
                        
Bezug
Berührpunkt zweier Funktionen: stimmt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Do 08.02.2007
Autor: Roadrunner

Hallo TopHat!


[ok] Das stimmt soweit.

Du solltest m.E. allerdings noch ein Wort darüber verlieren, dass die rechnerische Lösung $x \ = \ 0$ aus der Bestimmungsgleichung [mm] $a*x^3 [/mm] \ = \ [mm] 3a*x^2$ [/mm] kein Berührpunkt der beiden Funktionen ist.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Berührpunkt zweier Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:38 Do 08.02.2007
Autor: TopHat

ja stimmt, aber um ehrlich zu sein, sieht man doch, dass die eine Funktion bei x=0  den Funktionswert 0 und die andere Funktion den Wert 1 hat. Aber danke für den Tipp.

Bezug
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