Berührpunkt/gemeinsame Tangent < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass sich die Graphen von [mm] f(x)=x^{3}+1 [/mm] und [mm] g(x)=x^{2}+x [/mm] in einem Punkt berühren und geben Sie die gemeinsame Tangente an. |
Wie kann man das rechnen? Ich bitte um Hilfe:)
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Hallo leasarfati,
Setze $f(x)=g(x)$ und berechne den oder die Schnittpunkt/e. Für diesen Schnittpunkt berechnest du die Steigung von f(x) und g(x). Sind die Steigungen gleich, so weißt du, dass die Graphen sich in diesem Punkt nur berühren.
Also
1) Finde Lösungen [mm] $x_0$ [/mm] für $f(x)=g(x)$
2) Berechne [mm] f'(x_0) [/mm] und [mm] g'(x_0)
[/mm]
3) Überprüfe ob [mm] f'(x_0)=g'(x_0) [/mm] gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Sa 01.12.2012 | | Autor: | leasarfati |
Danke, ich versuch's mal:))
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass sich die Graphen von [mm]f(x)=x^{3}+1[/mm] und
> [mm]g(x)=x^{2}+x[/mm] in einem Punkt berühren und geben Sie die
> gemeinsame Tangente an.
> Wie kann man das rechnen? Ich bitte um Hilfe:)
es wurde ja schon ein Tipp gegeben, nämlich Gleichsetzen und dann zeigen, dass es eine Lösung gibt, für welche die beiden ersten Ableitungen übereinstimmen.
Das ist aber nicht so einfach. Das Gleichsetzen führt hier auf die Gleichung
[mm] x^3-x^2-x+1=0
[/mm]
bei welcher man beide Lösungen leicht erraten kann. Dem ist aber nicht immer so. Bedenke, dass es sich hier um eine Gleichung 3. Ordnung handelt, die man zwar generell lösen kann, aber nicht mit den Mitteln der Schulmathematik.
Von daher sollte hier auch eine andere mögliche Vorgehensweise erwähnt werden:
- setze zunächst die beiden Ableitungen gleich.
- überprüfe für die beiden so erhaltenenen Lösungen, ob die Funktionserte dort gleich sind (was sie in einem Fall hier sind).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Sa 01.12.2012 | | Autor: | leasarfati |
Danke, ich hatte mich nämlich schon gewundert...
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Ich habe jetzt die Ableitungen gleichgesetzt und am Ende komme ich auf: [mm] x^{2}-\bruch{2}{3}x=\bruch{1}{3}
[/mm]
Ist das richtig? Ich komme ja nicht auf ein x, was ich dann in die Ausgangsgleichung einsetzen kann, um y auch zu berechnen.
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Hi,
> Ich habe jetzt die Ableitungen gleichgesetzt und am Ende
> komme ich auf: [mm]x^{2}-\bruch{2}{3}x=\bruch{1}{3}[/mm]
> Ist das richtig?
Ja. Löse nun [mm] x^2-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=0
[/mm]
Du bekommst also zwei x-Werte, die du einzeln in f(x) und g(x) einsetzt und dann schaust, ob die Gleichheit der Funktionswerte gegeben ist. Wenn ja, dann ist an der Stelle ein Berührpunkt.
> Ich komme ja nicht auf ein x, was ich
> dann in die Ausgangsgleichung einsetzen kann, um y auch zu
> berechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Diophant,
an deine Variante habe ich auch schon gedacht. Leider gibt es auch hier einen kleinen Haken. Und so würde ich empfehlen immer situationsgerecht die passende Variante auszuwählen.
Man betrachte: f(x)=x+1 und g(x)=x.
Mit f'(x)=g'(x) erhält man 1=1 und somit wären alle [mm] x\in\IR [/mm] potentielle Kandidaten für den Berührpunkt der Graphen. In diesem leichten Fall erkennt man natürlich sofort, dass es keine Schnittpunkte gibt. Aber es gibt ja durchaus auch kompliziertere Beispiele.
Ich könnte jetzt nicht so einfach sagen, welche Variante die beste ist. Vermutlich ist es doch etwas von der Situation abhängig.
Schön, dass jedoch beide Lösungswege hier erwähnt wurden.
Ich wünsche ein schönes Wochenende!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Richie,
> an deine Variante habe ich auch schon gedacht. Leider gibt
> es auch hier einen kleinen Haken...
Das ist mir schon klar, ich hatte meinen Vorschlag auch als Alternative verstanden.
Aus meiner 'Nachhilfe-Praxis'  habe ich folgende Erfahrung: seit der GTR eingeführt wurde, ist auch der letzte Rest an Kenntnissen hinsichtlich der Lösbarkeit von Gleichungen aus dem Schulunterricht verschwunden. Schüler lernen heute nicht mehr, dass man solche Gleichungen nur bis Ordnung 4 generell lösen kann und das sie, also die Schüler, dass mit ihren Mitteln nur bis zur 2. Ordnung können. Auf der anderen Seite wird auf solche Dinge beim Erstellen von Aufgaben auch keine Rücksicht mehr genommen. Oft wird ja nur noch ein Mischmasch aus GTR-Bedienung und mathematik als Lösung erwartet (das wissen wir hier nicht, es ist ja aber auch nicht wichtig). Insofern halte ich die vorliegende Aufgabe für die 11. Klasse für sehr lehrreich in dieser Beziehung, und daher mein Hinweis auf die hier mögliche Alternative, die natürlich, wie du richtig schreibst, keine generelle Lösungmöglichkeit darstellt.
Beste Grüße & ebenfalls ein schönes Wochenende,
Diophant
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Wenn ich f(x) und g(x) gleichsetze, kommt da 1= [mm] x^{2}+x-x^{3} [/mm] raus. Ist das richtig und wie muss ich jetzt weitermachen?
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Hi,
> Wenn ich f(x) und g(x) gleichsetze, kommt da 1=
> [mm]x^{2}+x-x^{3}[/mm] raus. Ist das richtig und wie muss ich jetzt
> weitermachen?
Du kannst hier zwei Lösungen erraten. Offensichtlich erfüllen [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=-1 [/mm] die Gleichung.
Wenn du eine Polynomdivision durchführen würdest, dann bekommst du auch heraus, dass x=1 eine doppelte Nullstelle ist. Insgesamt erhält man also die Lösungen: [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_{2,3}=1
[/mm]
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Ich verstehe nicht genau, wie ich das erraten kann...
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Hallo,
folgender Tipp: wenn eine solche Gleichung (die wir Mathematiker algebraische Gleichung nennen, womit wir meinen, dass sie aus lauter natürlichen Potenzen einer oder auch mehrerer Variablen zusammengesetzt ist) ausschließlich ganzzahlige Koeffizienten besitzt, dann kannst du folgendes tun, um Lösungen zu erraten:
- Kürze zunächst, indem du durch den ggT der Koeffizienten dividierst (ist hier nicht mehr möglich bzw. nötig)
- Betrachte die Summe aller Koeffizienten: ist sie gleich Null, dann ist x=1 eine Lösung der Gleichung
- Betrachte die sog. alternierende Summe der Koeffizienten. Das bedeutet, du addierst alle Koeffizienten von Summenden mit gerader Hochzahl und solcher mit ungerader Hochzahl getrennt, wobei du noch [mm] a=a*x^0 [/mm] beachten musst. Jetzt werden diese beiden Summen voneinander subtrahiert. Kommt dabei Null heraus, dann ist x=-1 eine Lösung der Gleichung
- Zum Schluss kann man das sog. Absolutglied betrachten (das ist der Summand 'ohne x'. Alle ganzzahligen Teiler könnten mögliche Lösungen der Gleichung sein, von daher schaut man, welche Zahlen (inkl. der negativen!) das Absolutglied teilen und ermittelt durch Probe, ob es sich um eine Lösung handelt
Das ist übrigens das, was ich in meiner Mitteilung vorhin gemeint habe: das du das nicht weißt, liegt nicht an dir, du wirst es nicht gelernt haben. Ich habe mein Abi Mitte der 80er Jahre gemacht, wir haben diesen Sachverhalt noch selbstverständlich irgendwann in Klasse 9 oder 10 gelernt.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Sa 01.12.2012 | | Autor: | leasarfati |
Ah, vielen Dank! Ich hoffe nur, dass das in der nächsten Klassenarbeit keine mögliche Aufgabe sein wird, die man auf solchem Wege rechnen muss:D
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