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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 So 15.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Hallo Leute, ich melde mich mal wieder.
Aufgabe:
Welche Ursprungsgerade (t) ist Tangente an den Graphen von [mm] f(x)=\wurzel{x}-1? [/mm] Bestimmen sie den Berührpunkt B von t und f
Mein Ansatz ist folgender: Erstmal muss ich ja die Gerade bestimmen die durch den Punkte (0/0) geht und zu [mm] f(x)=\wurzel{x}-1 [/mm] tangent ist. Und dann habe ich ja 2 Formeln, aus denen ich nur den gemeinsamen Punkt errechnen muss. Bei mir scheitert es allerdgins schon daran, die tangente zu bestimmen
Ich bitte um Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 So 15.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast eine Ursprungsgerade also eine Gerade der Form y=mx, mit der Steigung m.
Und du hast einen Berührpunkt B(b/f(b)), der auf der Tangente und f liegen soll, also
f(b)=mb
Und da f im Punkt B die Steigung der Tangente haben soll, gilt m=f'(b)
Mit [mm] f(x)=\wurzel{x}-1
[/mm]
und [mm] f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
werden die beiden Gleichungen zu:
[mm] \wurzel{b}-1=mb
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2\wurzel{b}}=m
[/mm]
Damit hast du zwei Gleichungen für die beiden unbekannten Werte m und b.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 So 15.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Hallo
Erstmal danke, allerdings bringt mich das nicht wirklich weiter, da ich ja keine Werte habe. Ich habe ja weder die Steigung m der Ursprungsgeraden noch den Berührpunkt B. Kannst vill. jemand die Aufgabe weiterrechnen? Oder mir genauer erklären, was jetzt zu tun ist?
mfg
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Hallo damn1337,
> Hallo
>
> Erstmal danke, allerdings bringt mich das nicht wirklich
> weiter, da ich ja keine Werte habe. Ich habe ja weder die
> Steigung m der Ursprungsgeraden noch den Berührpunkt B.
> Kannst vill. jemand die Aufgabe weiterrechnen? Oder mir
> genauer erklären, was jetzt zu tun ist?
Du weisst, daß [mm]\left(0 | 0 \right)[/mm] und [mm]\left(b | f\left(b\right) \right)[/mm] auf der Ursprungsgeraden liegen.
Demnach ergibt sich als Steigung m dieser Ursprungsgeraden:
[mm]m=\bruch{f\left(b\right)-0}{b-0}=\bruch{f\left(b)}{b}[/mm]
Andererseits gilt für die Steigung der Tangente im Berührpunkt [mm]m=f'\left(b\right)[/mm]
Daher ist die Gleichung
[mm]f'\left(b\right)=\bruch{f\left(b\right)}{b}[/mm]
zu lösen.
> mfg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 So 15.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
>
> Du weisst, daß [mm]\left(0 | 0 \right)[/mm] und [mm]\left(b | f\left(b\right) \right)[/mm]
> auf der Ursprungsgeraden liegen.
>
> Demnach ergibt sich als Steigung m dieser
> Ursprungsgeraden:
>
> [mm]m=\bruch{f\left(b\right)-0}{b-0}=\bruch{f\left(b)}{b}[/mm]
>
> Andererseits gilt für die Steigung der Tangente im
> Berührpunkt [mm]m=f'\left(b\right)[/mm]
>
> Daher ist die Gleichung
>
> [mm]f'\left(b\right)=\bruch{f\left(b\right)}{b}[/mm]
>
> zu lösen.
>
>
> > mfg
>
Irgendwie bin ich dafür zu blöd. Wie soll ich denn die Gleichung [mm]f'\left(b\right)=\bruch{f\left(b\right)}{b}[/mm]
lösen, ohne das ich auch nur einen wert habe? Ich habe ja als einzigen Punkt der Ursprungsgerade (0/0). was
$ [mm] \left(b | f\left(b\right) \right) [/mm] $ ist weiß ich ja garnicht.
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Hallo, ich nehme mal als Voraussetzung an, du hast die Überlegungen von Marius verstanden, Gleichungen (1) und (2):
(1) [mm] \wurzel{b}-1=mb
[/mm]
(2) [mm] \bruch{1}{2\wurzel{b}}=m
[/mm]
setze Gleichung (2) in Gleichung (1) ein
[mm] \wurzel{b}-1=\bruch{b}{2\wurzel{b}}
[/mm]
[mm] \wurzel{b}-1=\bruch{\wurzel{b}*\wurzel{b}}{2\wurzel{b}}
[/mm]
[mm] \wurzel{b}-1=\bruch{\wurzel{b}}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{b}}{2}=1
[/mm]
[mm] \wurzel{b}=2
[/mm]
b=4
jetzt ist die Stelle bekannt, an der sich Gerade und Funktion einander berühren, um den Anstieg deiner Geaden zu bekommen, berechne die 1. Ableitung von 4,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 So 15.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Okay, das habe ich soweit alles verstanden. Und wenn ich jetzt mit b den x-wert habe, kann ich auch den y-Wert ausrechnen! Allerdings verstehe ich diesen Rechenschritt nicht:
> [mm]\wurzel{b}-1=\bruch{\wurzel{b}}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\wurzel{b}}{2}=1[/mm]
Eine Erklärung wäre gut.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 So 15.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Okay, das habe ich soweit alles verstanden. Und wenn ich
> jetzt mit b den x-wert habe, kann ich auch den y-Wert
> ausrechnen! Allerdings verstehe ich diesen Rechenschritt
> nicht:
>
> > [mm]\wurzel{b}-1=\bruch{\wurzel{b}}{2}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{\wurzel{b}}{2}=1[/mm]
>
> Eine Erklärung wäre gut.
Der Rechenbefehl lautet
|+1 - [mm] \bruch{\wurzel{b}}{2}
[/mm]
Übrigens wäre der Ansatz mit der ersten Ableitung gar nicht nötig gewesen.
Eine Ursprungsgerade hat mit der gegebenen Wurzelfunktion
- keine Schnittpunkte für große Anstiege
- 2 Schnittpunkte für sehr kleine positive Anstiege
- genau einen Berührungspunkt für irgendeinen nicht zu großen oder zu kleinen Anstieg.
Man berechnet also einfach den / die gemeinsamen Punkte:
[mm] mx=\wurzel{x}-1
[/mm]
[mm] mx+1=\wurzel{x}
[/mm]
[mm] m^2 x^2 [/mm] +2mx +1 = x
[mm] m^2 x^2 [/mm] +(2m-1)x+1 = 0
[mm] x^2+\bruch{2m-1}{m^2}-\bruch{1}{m^2}=0
[/mm]
Jetzt schauen, für welches m die Diskriminante Null wird - das ist der Anstieg m mit dem Berührungspunkt.
Gruß Abakus
>
> Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 So 15.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Warum so kompliziert? Die Tangente [mm] $t_{x_0}$ [/mm] am Punkt [mm] $(x_0,f(x_0))$ [/mm] hat die Gleichung [mm] $$t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$ [/mm] Jetzt löst man einfach [mm] $t_{x_0}(0)=0$ [/mm] nach [mm] $x_0$ [/mm] auf. Komme auf [mm] $x_0=4$
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 15.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Hallo
Könntest du bitte noch einmal etwas genauer beschreiben, was du meinst?
Ich verstehe nicht wie man anhand dieser Tangentengleichung für x0=4 bekommen soll.
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 So 15.03.2009 | | Autor: | pelzig |
[mm] $$t_{x_0}(0)=0\gdw f(x_0)+f'(x_0)(0-x_0)=0\gdw (\sqrt{x_0}-1)+\frac{x_0}{2\sqrt{x_0}}=0\gdw [/mm] ...$$ Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 So 15.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Warum so kompliziert? Die Tangente [mm]$t_{x_0}$[/mm] am Punkt
> [mm]$(x_0,f(x_0))$[/mm] hat die Gleichung
> [mm]t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/mm] Jetzt löst man einfach
> [mm]$t_{x_0}(0)=0$[/mm] nach [mm]$x_0$[/mm] auf. Komme auf [mm]$x_0=4$[/mm]
>
> Gruß, Robert
Sicher gibt es tolle und einfache Lösungswege, wenn man ein reichhaltiges Repertoir an anwendungsbereitem mathematischen Wissen besitzt. Ich habe nur gezeigt, dass ein Lösungsansatz auch ohne Einsatz von Mitteln der Differenzialrechnung möglich ist.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 So 15.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Bei deiner Lösung ist ja überhaupt nicht klar, dass es sich um die Tangente handelt. Es ist einfach irgendeine Ursprungsgerade, die den Graphen in genau einem Punkt schneidet. Das erfüllt z.B. auch die Ursprungsgerade $t(x)=0$, aber das ist keine Tangente.
Gruß, Robert
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