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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Mo 12.12.2005 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
ich habe große Probleme mit der folgenden Aufgabe:
Ziel der Aufgabe ist die Auswertung des Bersteinpolynoms
[mm] B_{n}(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}$b_{k}$ $\vektor{n \\ k}$$x^{k}$ $(1-x)^{n-k}$
[/mm]
an einer gegebenen Stelle x [mm] \varepsilon [/mm] [0,1].
[mm] x^{n}_{b}
[/mm]
Für m=0,...,n und i=0,...,n - m sei dazu
[mm] B^{i}_{m} [/mm] := [mm] $\summe_{k=0}^{m}$ $b_{k+i}$ $\vektor{m \\ k}$$x^{k}$ $(1-x)^{m-k}$ [/mm] ,
insbesondere also [mm] B_{n} [/mm] = [mm] $B_{n}$(x)
[/mm]
Zeigen Sie:
1) [mm] $B^{i}_{0}$ [/mm] = [mm] $b_{i}$ [/mm] für i = 0,....,n
2) [mm] B^{i}_{m} [/mm] = (1 - [mm] x)$B^{i}_{m-1}$ [/mm] + [mm] x$B^{i+1}_{m-1}$
[/mm]
für m = 1,...,n und i=0,...,n-m
Ich brauche dringend Hilfe bei der Aufgabe, ich habe keinen Ansatz zur Lösung gefunden!
MFG
Kuminitu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Di 13.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo kuminito!
Teil 1) ist ja trivial; bei Teil 2) gehst du wie folgt vor:
[mm] $B_m^i [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^m b_{k+i} [/mm] {m [mm] \choose [/mm] k} [mm] \cdot x^k \cdot (1-x)^{m-k}$
[/mm]
[mm] $=b_i [/mm] + [mm] \sum\limits_{k=1}^m b_{k+i} \cdot \left[ {{m-1} \choose k} + {{m-1} \choose {k-1}} \right] \cdot x^k \cdot (1-x)^{m-k}$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{k=0}^m b_{k+i} [/mm] {{m-1} [mm] \choose [/mm] k} [mm] x^k (1-x)^{m-k} [/mm] + [mm] \sum\limits_{k=1}^m b_{k+i} [/mm] {{m-1} [mm] \choose [/mm] {k-1}} [mm] x^k (1-x)^{m-k}$
[/mm]
$= (1-x) [mm] \sum\limits_{k=0}^{m-1} b_{k+i} [/mm] {{m-1} [mm] \choose [/mm] k} [mm] x^k (1-x)^{m-1-k} [/mm] + x [mm] \sum\limits_{k=1}^m b_{k+i} [/mm] {{m-1} [mm] \choose [/mm] {k-1}} [mm] x^{k-1} (1-x)^{(m-1)-(k-1)}$
[/mm]
$= (1-x) [mm] \cdot B_{m-1}^i [/mm] + x [mm] \sum\limits_{k=0}^{m-1} b_{k+i+1} [/mm] {{m-1} [mm] \choose [/mm] {k}} [mm] x^{k} (1-x)^{(m-1)-k}$
[/mm]
$=(1-x) [mm] \cdot B_{m-1}^i [/mm] + x [mm] \cdot B_{m-1}^{i+1}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Di 13.12.2005 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
danke erst mal für deine Hilfe, hat mir sehr geholfen!!
Habe jetzt noch eine Frage zu 1)
Ist $ [mm] B^{i}_{o} [/mm] $ so festgelegt(?):
[mm]B^{i}_{0}[/mm] := [mm]\summe_{k=0}^{0}[/mm] [mm]b_{k+i}[/mm] [mm]\vektor{0 \\ k}[/mm][mm]x^{k}[/mm]
[mm](1-x)^{-k}[/mm] ,
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, es gilt:
[mm] $B_0^i [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^0 b_{k+i} [/mm] {0 [mm] \choose [/mm] k} [mm] x^k (1-x)^{0-k} [/mm] = [mm] b_i \cdot [/mm] {0 [mm] \choose [/mm] 0} [mm] \cdot x^0 \cdot (1-x)^{0-0} [/mm] = [mm] b_i$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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