Bernoullische Ungleichung ++ < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 So 11.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | 1)
Zeigen Sie: für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] x\ge-2 [/mm] und [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] (1+x)^{n}\ge1+nx
[/mm]
Hinweis: Machen Sie den Induktionsanfang mit n=1,2 und den Induktionsschritt von n zu (n+2).
2)Betrachten wir eine vierelementige Menge M = {a, b, c, d} auf der
eine Verknüpfung ‘°’ definiert ist, so dass (M;°) eine Gruppe ist. Dabei sei a das neutrale
Element. Alle Elemente sind zu sich selbst invers. Können Sie mit dieser Information die Verknüpfungstabelle vollständige ausfüllen oder gibt es mehrere Möglichkeiten? Ist/Sind die Gruppe(n), die Sie erhalten, kommutativ? |
1)
Induktionsanfang: n=1, [mm] (1+x)^{1}\ge1+x\gdw1+x\ge1+x
[/mm]
n=2, [mm] (1+x)^{2}\ge1+x\gdw1+2x+x^{2}\ge1+2x
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: [mm] (1+x)^{n}\ge1+nx, \forall n\in\IN\wedge\forall x\in\IR [/mm] mit [mm] x\ge-2
[/mm]
Induktionsbehauptung: [mm] (1+x)^{(n+2)}\ge1+(n+2)x,\forall n\in\IN\wedge\forall x\in\IR [/mm] mit [mm] x\ge-2
[/mm]
Induktionsschritt: [mm] (1+x)^{(n+2)}=(1+x)^{n}*(1+x)^{2}
[/mm]
nach IV: [mm] \ge(1+nx)*(1+2x+x^{2}) [/mm] = [mm] 1+2x+x^{2}+nx+2x^{2}+nx^{2} [/mm] = [mm] 1+(n+2)x+x^{2}+2n^{2}+n*x^{2}
[/mm]
nach IV erhalten wir hier IB: [mm] \ge1+(n+2)x\le(1+x)^{(n+2)} \Box
[/mm]
2) ° a b c d
a a b c d
b b a d c
c c d a b
d d c b a
Da (a°b) selbstinvers: [mm] (a°b)°(a°b)\Rightarrow
[/mm]
[mm] (a°b)°(a°b)^{-1} \Rightarrow
[/mm]
[mm] (a°b)°(a^{-1}°b^{-1}) \Rightarrow
[/mm]
[mm] (a°a^{-1})°(a°b^{-1})°(b°a^{-1})°(b°b^{-1}) \Rightarrow [/mm]
[mm] (a°b^{-1})°(b°a^{-1}) \Rightarrow
[/mm]
[mm] (a°b)°(b^{-1}°a^{-1}) \Rightarrow
[/mm]
(a°b)°(b°a)
Also Kommutativ, da aus (a°b)°(a°b) = e, folgt (a°b)°(b°a) = e.
Ich denke das sollte bis hierhin korrekt sein. Aber was soll die Frage: gibt es mehrere Mögichkeiten? Sind damit verschiedene Gruppen gefragt bei denen Kommutativität gilt? oder wie oder was? Oder ist damit einfach nur gemeint, dass es möglich ist die selbe Aufgabe anders zu formulieren, mit anderen gegebenen Informationen die aber auf das selbe Ergebnis hinauslaufen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 So 11.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Maurizz,
> 1)
> Zeigen Sie: für alle [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]x\ge-2[/mm] und [mm]n\in\IN[/mm]
> gilt:
> [mm](1+x)^{n}\ge1+nx[/mm]
> Hinweis: Machen Sie den Induktionsanfang mit n=1,2 und den
> Induktionsschritt von n zu (n+2).
>
> 2)Betrachten wir eine vierelementige Menge M = {a, b, c, d}
> auf der
> eine Verknüpfung ‘°’ definiert ist, so dass (M;°)
> eine Gruppe ist. Dabei sei a das neutrale
> Element. Alle Elemente sind zu sich selbst invers. Können
> Sie mit dieser Information die Verknüpfungstabelle
> vollständige ausfüllen oder gibt es mehrere
> Möglichkeiten? Ist/Sind die Gruppe(n), die Sie erhalten,
> kommutativ?
>
>
>
> 1)
> Induktionsanfang: n=1, [mm](1+x)^{1}\ge1+x\gdw1+x\ge1+x[/mm]
> n=2,
> [mm](1+x)^{2}\ge1+x\gdw1+2x+x^{2}\ge1+2x[/mm]
>
> Induktionsvoraussetzung: [mm](1+x)^{n}\ge1+nx, \forall n\in\IN\wedge\forall x\in\IR[/mm]
> mit [mm]x\ge-2[/mm]
>
> Induktionsbehauptung: [mm](1+x)^{(n+2)}\ge1+(n+2)x,\forall n\in\IN\wedge\forall x\in\IR[/mm]
> mit [mm]x\ge-2[/mm]
>
> Induktionsschritt: [mm](1+x)^{(n+2)}=(1+x)^{n}*(1+x)^{2}[/mm]
> nach IV: [mm]\ge(1+nx)*(1+2x+x^{2})[/mm] =
> [mm]1+2x+x^{2}+nx+2x^{2}+nx^{2}[/mm] =
Dies ist falsch. Der letzte Term heißt [mm] $nx^3$. [/mm] Und der könnte negativ sein, so daß Deine Abschätzung extra begründet werden muß.
> [mm]1+(n+2)x+x^{2}+2n^{2}+n*x^{2}[/mm]
> nach IV erhalten wir hier IB: [mm]\ge1+(n+2)x\le(1+x)^{(n+2)} \Box[/mm]
Die letzte umgekehrte Abschätzung gehört hier nicht hin, sie steht ja schon am Anfang Deiner (Un)gleichungskette.
>
>
> 2) ° a b c d
> a a b c d
> b b a d c
> c c d a b
> d d c b a
>
> Da (a°b) selbstinvers: [mm](a°b)°(a°b)\Rightarrow[/mm]
> [mm](a°b)°(a°b)^{-1} \Rightarrow[/mm]
>
> [mm](a°b)°(a^{-1}°b^{-1}) \Rightarrow[/mm]
>
>
> [mm](a°a^{-1})°(a°b^{-1})°(b°a^{-1})°(b°b^{-1}) \Rightarrow[/mm]
>
> [mm](a°b^{-1})°(b°a^{-1}) \Rightarrow[/mm]
>
> [mm](a°b)°(b^{-1}°a^{-1}) \Rightarrow[/mm]
>
> (a°b)°(b°a)
> Also Kommutativ, da aus (a°b)°(a°b) = e, folgt
> (a°b)°(b°a) = e.
>
> Ich denke das sollte bis hierhin korrekt sein. Aber was
> soll die Frage: gibt es mehrere Mögichkeiten? Sind damit
> verschiedene Gruppen gefragt bei denen Kommutativität
> gilt? oder wie oder was? Oder ist damit einfach nur
> gemeint, dass es möglich ist die selbe Aufgabe anders zu
> formulieren, mit anderen gegebenen Informationen die aber
> auf das selbe Ergebnis hinauslaufen?
Es ist gefragt, ob es verschiedene Gruppen gibt, deren Elemente selbstinvers sind und ob alle solche Gruppen kommutativ sind.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 So 11.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Aber selbst wenn [mm] nx^{3} [/mm] negativ wird, was ja bei x= -1, -2 der Fall ist, wird der gesamte Ausdruck dennoch nicht größer als [mm] (1+x)^{n+2}. [/mm] Bei x = 0 steht immer [mm] 1\ge1 [/mm] da. Und bei allen x>0 ist der Ausdruck erst recht kleiner als [mm] (x+1)^{n+2}.
[/mm]
Also wenn ich mich nicht sehr schwer verrechnet habe, heißt das ich soll es trotzdem noch per Fallunterscheidung bestätigen?
Was mir aber aufgefallen ist, dass wenn ich aber als Induktionsschritt (n+1) wähle und die Ungleichung umforme und anschließend x < -1 einsetze, plötzlich die Ungleichung nicht mehr stimmt. Aber bei (n+2) treten keine Probleme auf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 So 11.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Aber selbst wenn [mm]nx^{3}[/mm] negativ wird, was ja bei x= -1, -2
> der Fall ist, wird der gesamte Ausdruck dennoch nicht
> größer als [mm](1+x)^{n+2}.[/mm] Bei x = 0 steht immer [mm]1\ge1[/mm] da.
> Und bei allen x>0 ist der Ausdruck erst recht kleiner als
> [mm](x+1)^{n+2}.[/mm]
>
> Also wenn ich mich nicht sehr schwer verrechnet habe,
> heißt das ich soll es trotzdem noch per Fallunterscheidung
> bestätigen?
Du mußt
[mm] $1+(n+2)x+x^{2}+2nx^{2}+n*x^{3} \ge1+(n+2)$ [/mm] begründen. Da reicht es nicht, dies für $x = -1$ und $x=-2$ nachzurechnen. Die Abschätzung folgt aus [mm] $x^{2}+2nx^{2}+n*x^{3} \ge [/mm] 0$. Und mit ein bißchen Rechnerei kannst Du Letztere aus [mm] $-2\le [/mm] x$ folgern.
>
> Was mir aber aufgefallen ist, dass wenn ich aber als
> Induktionsschritt (n+1) wähle und die Ungleichung umforme
> und anschließend x < -1 einsetze, plötzlich die
> Ungleichung nicht mehr stimmt. Aber bei (n+2) treten keine
> Probleme auf.
Ja, deswegen wohl der Hinweis!
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 So 11.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Wir behaupten ja das [mm] (1+x)^{n+2}\ge1+(n+2)x [/mm] ist.
Und wenn wir voraussetzen, dass [mm] (1+x)^{n}\ge1+nx [/mm] gilt, dann folgt ja aus unserer ersten Schätzung, dass [mm] (1+x)^{n}*(1+x)^{2} \ge (1+nx)*(1+x)^{2}. [/mm] Also kann der gleiche Term [mm] (1+x)^{2} [/mm] nicht dafür sorgen, dass (1+nx) aufeinmal der größere ist. Sondern höchstens gleichgroß und zwar nur, weil sie es bereits waren. Die Tatsache das wir das jetzt Ausmultiplizieren, kann doch nicht aus dem nichts den Wert verändern. Durch das Umformen erhalten wir die Information, dass der gesuchte Term 1+(n+2)x tatsächlich kleiner oder gleich groß sein soll. Aber da jetzt zu diesem Term was hinzu addiert wird, kann er ja nur kleiner sein. Es sei den [mm] (x^{2}+2nx^{2}+nx^{3}) [/mm] wäre immer 0, was ja nicht der Fall ist. Ist dieser Term kleiner 0 dann stört uns das nicht, denn die Bedingung ist ja dann immer wahr. Ist er gleich 0 sind wir auch glücklich. Ist er größer 0, wiederspricht er nur dann unsere Bedingung, wenn die Summe aus [mm] (x^{2}+2nx^{2}+nx^{3}) [/mm] + (1+(n+2)x) aufeinmal größer wäre als [mm] (n+1)^{n+2}. [/mm] Und genau das ist doch was mir hier verbietet einfach aufzuhören.
Also sage ich, da wo [mm] (x^{2}+2nx^{2}+nx^{3}) [/mm] > 0 kann ein wiederspruch entstehen. Muss jetzt sozusagen die Ungleichung überprüft werden [mm] (x^{2}+2nx^{2}+nx^{3})+(1+(n+2)x)>(1+x)^{n+2}. [/mm] Und das ist genau dann der Fall wenn? Wo ist den der Fehler? Ich drehe mich ewig im Kreis..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Wir behaupten ja das [mm](1+x)^{n+2}\ge1+(n+2)x[/mm] ist.
> Und wenn wir voraussetzen, dass [mm](1+x)^{n}\ge1+nx[/mm] gilt,
> dann folgt ja aus unserer ersten Schätzung, dass
> [mm](1+x)^{n}*(1+x)^{2} \ge (1+nx)*(1+x)^{2}.[/mm] Also kann der
> gleiche Term [mm](1+x)^{2}[/mm] nicht dafür sorgen, dass (1+nx)
> aufeinmal der größere ist. Sondern höchstens gleichgroß
> und zwar nur, weil sie es bereits waren. Die Tatsache das
> wir das jetzt Ausmultiplizieren, kann doch nicht aus dem
> nichts den Wert verändern. Durch das Umformen erhalten wir
> die Information, dass der gesuchte Term 1+(n+2)x
> tatsächlich kleiner oder gleich groß sein soll
Als was?
> Aber da
> jetzt zu diesem Term was hinzu addiert wird, kann er ja nur
> kleiner sein.
Nein! Wenn das, was hinzu addiert wird, kleiner Null ist, nicht.
Es sei den [mm](x^{2}+2nx^{2}+nx^{3})[/mm] wäre immer
> 0, was ja nicht der Fall ist. Ist dieser Term kleiner 0
> dann stört uns das nicht, denn die Bedingung ist ja dann
> immer wahr. Ist er gleich 0 sind wir auch glücklich. Ist
> er größer 0, wiederspricht er nur dann unsere Bedingung,
> wenn die Summe aus [mm](x^{2}+2nx^{2}+nx^{3})[/mm] + (1+(n+2)x)
> aufeinmal größer wäre als [mm](n+1)^{n+2}.[/mm] Und genau das ist
> doch was mir hier verbietet einfach aufzuhören.
Das kann ich alles nicht so richtig nachvollziehen.
>
> Also sage ich, da wo [mm](x^{2}+2nx^{2}+nx^{3})[/mm] > 0 kann ein
> wiederspruch entstehen. Muss jetzt sozusagen die
> Ungleichung überprüft werden
> [mm](x^{2}+2nx^{2}+nx^{3})+(1+(n+2)x)>(1+x)^{n+2}.[/mm] Und das ist
> genau dann der Fall wenn? Wo ist den der Fehler? Ich drehe
> mich ewig im Kreis..
Schreib doch eine Ungleichungskette auf in der Form
[mm] $(1+x)^{n+2} \ge \ldots \ge 1+(n+2)*x\,.$
[/mm]
Dabei kann statt [mm] $\ge$ [/mm] auch $=$ stehen.
Dann kannst Du (und ich) leichter überprüfen, wo da Fehler stecken.
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Wenn [mm] x^{2}+2x^{2}+nx^{3}>(1+x)^{n+2}-(1+(n+2)x) [/mm] haben wir ein wiederspruch.
Wenn [mm] x^{2}+2x^{2}+nx^{3}\le(1+x)^{n+2}-(1+(n+2)x) [/mm] gilt die Behauptung.
Das habe ich gemeint. Ich weiß, dass ich aus diesem Grund ein Fehler mache, wenn ich [mm] (1+x)^{n+2}\ge1+(n+2)x [/mm] folger. Soweit hab ich es verstanden.
Ich weiß auch das x darüber entscheidet, wann und ob die Gleichungen aufgehen und nicht das n.
Nur weiß ich nicht so recht wie und was ich damit anstellen soll. Denn es sagt ja bereits aus was Sache ist. Falls das aber nie der Fall ist und die Behauptung wirklich immer wahr ist, dann muss es doch eine Möglichkeit geben es zu formulieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:23 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Wenn [mm]x^{2}+2x^{2}+nx^{3}>(1+x)^{n+2}-(1+(n+2)x)[/mm] haben wir
> ein wiederspruch.
>
> Wenn [mm]x^{2}+2x^{2}+nx^{3}\le(1+x)^{n+2}-(1+(n+2)x)[/mm] gilt die
> Behauptung.
Hier ist noch ein Tippfehler: Es muß [mm] $2nx^2$ [/mm] statt [mm] $2x^2$ [/mm] heißen.
>
> Das habe ich gemeint. Ich weiß, dass ich aus diesem Grund
> ein Fehler mache, wenn ich [mm](1+x)^{n+2}\ge1+(n+2)x[/mm] folger.
> Soweit hab ich es verstanden.
>
> Ich weiß auch das x darüber entscheidet, wann und ob die
> Gleichungen aufgehen und nicht das n.
>
> Nur weiß ich nicht so recht wie und was ich damit
> anstellen soll. Denn es sagt ja bereits aus was Sache ist.
> Falls das aber nie der Fall ist und die Behauptung wirklich
> immer wahr ist, dann muss es doch eine Möglichkeit geben
> es zu formulieren.
Natürlich. Etwa so:
Du hast schon, bis auf Tippfehler, gezeigt:
[mm] $(1+x)^{n+2} \ge [/mm] 1 +(n+2)x + [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2nx^2 [/mm] + [mm] nx^3$
[/mm]
$= 1 +(n+2)x + [mm] x^2\bigl(1 [/mm] + n(2 + [mm] x)\bigr)$
[/mm]
$ [mm] \ge 1+(n+2)x\,,$ [/mm] denn wegen [mm] $x\ge [/mm] -2$ ist [mm] $x^2\bigl(1 [/mm] + n(2 + [mm] x)\bigr)\ge 0\,.$
[/mm]
Fertig!
Gruß,
Wolfgang
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