Bernoullische Ungleichung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Mina23 |
| Aufgabe | Zeigen Sie mittels Bernoullischer Ungleichung, dass die Folge
[mm] a_{n} [/mm] =( [mm] 1-\frac{1}{n^2} )^n [/mm] den Grenzwert 1 besitzt. Bestimmen Sie zu vorgegebenem [mm] \epsilon [/mm] > 0 explizit ein [mm] n_{0} \in \mathbb [/mm] N für alle n > [mm] n_{0} [/mm] gilt [mm] |a_{n} [/mm] -1| [mm] <\epsilon [/mm] |
hi ich hab folgende Frage
Also ich hab jetzt erst mal alles nach der Bernoullischen Ungleichung umgeschrieben und dann müsste es ja heißen:
[mm] (1-(\frac{1}{n^2} )^n [/mm] > 1-n [mm] (\frac{1}{n^2} [/mm] )
aber wie muss ich jetzt weiter vorgehen, damit ich zum Grenzwert 1 komme?
vertsteh das ganze noch nicht so richtig :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Fr 11.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst dein [mm] a_n [/mm] einquetschen!
[mm] 1\le a_n\le [/mm] 1-1/n wenn du links und rechts den GW nimmst liegt der von [mm] a_n [/mm] dazwischen!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Mina23 |
Danke für die schnelle antwort:)
Dann sieht das ganze also so aus:
[mm] 1\le (1-\bruch{1}{n^2})\le 1-\bruch{1}{n}
[/mm]
und dann muss ich das gegen unendlich laufen lassen, oder?
dann kämme da ja [mm] 1\le 1\le [/mm] 1 raus.
Aber wie schriebe ich dass denn dann so, dass das auch als beweis gilt?
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Hallo Mina23,
> Danke für die schnelle antwort:)
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> Dann sieht das ganze also so aus:
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> [mm]1\le (1-\bruch{1}{n^2})\le 1-\bruch{1}{n}[/mm]
Na, das ist doch wohl genau falsch herum, da hatte leduart was verdreht. Außerdem fehlt in der Mitte der Exponent!
Die rechte Seite ist doch kleiner als 1, also als die linke Seite.
Nach Bernoulli ist [mm]\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\ge 1-\frac{1}{n}[/mm]
Außerdem ist ersichtlich [mm]1\ge \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n[/mm] (sogar echt größer)
Damit [mm]1-\frac{1}{n} \ \le \ \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n \ \le \ 1[/mm]
Nun mache überall den Grenzübergang [mm]n\to\infty[/mm]
Was sagt das Sandwichlemma?
>
> und dann muss ich das gegen unendlich laufen lassen, oder?
Ja!
>
> dann kämme da ja [mm]1\le 1\le[/mm] 1 raus.
Erstmal (in richtiger Reihenfolge) [mm]1\le\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\le 1[/mm]
Und mit dem Sandwichlemma muss dann der mittlere Ausdruck ebenfalls gegen 1 konvergieren muss für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> Aber wie schriebe ich dass denn dann so, dass das auch als
> beweis gilt?
Schreibe die Ungleichheitskette auf mit Begründung (Bernoulli - das kannst du vorher auch aufschreiben)
Dann weiter wie beschrieben.
Wenn die beiden Sandwichhälften gegen den gleichen GW konvergieren, dann muss auch das eingequetschte Stück Fleisch gegen denselben GW konvergieren.
Für den 2ten Teil der Aufgabe beachte, dass wegen [mm]\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\le 1[/mm] gilt: [mm]|a_n-1|=\left|\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n-1\right|=1-\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n[/mm]
Nun denke an die obige Abschätzung gem. Bernoulli und beachte das negative Vorzeichen vor [mm]\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n[/mm] ...
Dann ist das gesuchte [mm]n_0[/mm] (zu bel. vorgegebenem [mm]\varepsilon>0[/mm]) doch leicht gefunden ...
Gruß
schachuzipus
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