Bernoullische Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Do 04.11.2010 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | Zeigen Sie , dass für jede reelle Zahl x>0 und jede natürliche Zahl n [mm] \ge [/mm] 2 die Ungleichung
[mm] (1+x)^n \ge \bruch{n^2}{4}*x^2 [/mm] |
Hi Community !
Beweisen durch vollst.Induktion.
Als erstes prüfe ich für n=0
[mm] (1+x)^0 [/mm] = 1 [mm] \ge [/mm] 0 stimmt
[mm] (1+x)^n+1 [/mm] = [mm] (1+x)(1+x)^n
[/mm]
[mm] \ge (1+x)(\bruch{n^2}{4}*x^2)
[/mm]
[mm] =\bruch{n^2}{4}*x^2 [/mm] + [mm] \bruch{n^2}{4}*x^3
[/mm]
[mm] =x(\bruch{n^2}{4}*x^2+1)
[/mm]
[mm] \ge \bruch{n^2}{4}*x^2+1
[/mm]
Darf ich so überhaupt ausklammern hier ?
Und bin ich soweit denn richtig ?
lg
Flo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Do 04.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zeigen Sie , dass für jede reelle Zahl x>0 und jede
> natürliche Zahl n [mm]\ge[/mm] 2 die Ungleichung
> [mm](1+x)^n \ge \bruch{n^2}{4}*x^2[/mm]
> Hi Community !
> Beweisen durch vollst.Induktion.
> Als erstes prüfe ich für n=0
hallo warum fängst du bei 0 an wenn da steht für [mm] n\ge [/mm] 2?
ausserden zählt man 0 nicht zu [mm] \IN
[/mm]
> [mm](1+x)^0[/mm] = 1 [mm]\ge[/mm] 0 stimmt
aber [mm] 1+x\ge x^2/4 [/mm] stimmt nicht für alle x
dann solltest du erst mal die Ind. Vors und die InduktionsBehauptung hinschreiben.
> [mm](1+x)^n+1[/mm] = [mm](1+x)(1+x)^n[/mm]
hier meinst du wohl
[mm] $(1+x)^{n+1}$ [/mm] = [mm] $(1+x)(1+x)^n$
[/mm]
> [mm]\ge (1+x)(\bruch{n^2}{4}*x^2)[/mm]
> [mm]=\bruch{n^2}{4}*x^2[/mm] +
> [mm]\bruch{n^2}{4}*x^3[/mm]
> [mm]=x(\bruch{n^2}{4}*x^2+1)[/mm]
wie kommst du auf das nächste > Zeichen? es würde nur für x>1 gelten!
> [mm]\ge \bruch{n^2}{4}*x^2+1[/mm]
>
> Darf ich so überhaupt ausklammern hier ?
das Ausklammern war richtig. aber wenn du die Behauptung für n+1 nicht hinschreibst kannst du nicht zielgerichtet abschätzen.
> Und bin ich soweit denn richtig ?
Nein
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Coup |
Also beim ersten hab ich mich verschrieben da hast du recht es heißt
[mm] (1+x)^n^+^1=(1+x)(1+x)^n
[/mm]
Beim IA hab ich nen doofen Fehler gemacht stimmt.
Also nehme ich für n=2 richtig ?
Das wäre
[mm] (1+x)^2 \ge \bruch{2^2}{4}*x^2
[/mm]
[mm] =1+2x+x^2 \ge x^2 [/mm] wahr !
Doch wie mache ich beim Schluss weiter ?
Ich stehe grad aufm Schlauch.
Wenn du sagst das es dann nur für x>1 gelten würde stimtm es ja nicht mit der Vorgabe x>0. Also entfällt das +1 und es bleibt
[mm] (1+x)^n^+^1 \ge \bruch{n^2}{4}*x^2 [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Fr 05.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib erst mal die Behauptung auf, fang dann so an, wie du es gemacht hast und hab beim abschätzen dein ziel vor Augen und n>2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:25 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Coup |
Die Behauptung hatte ich doch schon oder nicht ?
[mm] (1+x)^n^+^1 [/mm] = [mm] (1+x)(1+x)^n
[/mm]
...
und warum nun n>2 wo doch N [mm] \ge [/mm] 2
Flo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo,
du hattest nur auf der linken Seite der Ungleichung n+1 eingesetzt, was ist mit der rechten?
LG
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Fr 05.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie , dass für jede reelle Zahl x>0 und jede
> natürliche Zahl n [mm]\ge[/mm] 2 die Ungleichung
> [mm](1+x)^n \ge \bruch{n^2}{4}*x^2[/mm]
> Hi Community !
> Beweisen durch vollst.Induktion.
> Als erstes prüfe ich für n=0
> [mm](1+x)^0[/mm] = 1 [mm]\ge[/mm] 0 stimmt
>
> [mm](1+x)^n+1[/mm] = [mm](1+x)(1+x)^n[/mm]
> [mm]\ge (1+x)(\bruch{n^2}{4}*x^2)[/mm]
> [mm]=\bruch{n^2}{4}*x^2[/mm] +
> [mm]\bruch{n^2}{4}*x^3[/mm]
> [mm]=x(\bruch{n^2}{4}*x^2+1)[/mm]
> [mm]\ge \bruch{n^2}{4}*x^2+1[/mm]
>
> Darf ich so überhaupt ausklammern hier ?
> Und bin ich soweit denn richtig ?
>
> lg
> Flo
In der Aufgabenstellung steht nicht, dass Du das induktiv beweisen sollst !
Vorschlag:
Für n [mm] \ge [/mm] 2 und x>0 ist nach dem binomischen Satz:
[mm] $(1+x)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k \ge \vektor{n \\ 2}x^2$
[/mm]
Jetzt mußt Du noch zeigen:
[mm] $\vektor{n \\ 2 } \ge \bruch{n^2}{4}$ [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Coup |
Hallo,
Habe dann
[mm] (1+x)^n=1+nx+\bruch{n(n-1)}{2}*x^2+\summe_{k=3}^{n}*\vektor{n \\ k}*x^2 \ge \bruch{n^2}{4}*x^2
[/mm]
[mm] (1+x)^n \ge 1+nx+\bruch{n(n-1)}{2}*x^2 \ge \bruch{n^2}{4}*x^2
[/mm]
[mm] (1+x)^n \ge 1+nx+\bruch{n^2}{2}*x^2 [/mm] - [mm] \bruch{n}{2}*x^2 \ge \bruch{n^2}{4}*x^2
[/mm]
Also muss ich doch noch abschätzen oder ?
[mm] nx+\bruch{n^2}{4}*x^2 [/mm] - [mm] \bruch{n^2}{2}*x^2 \ge [/mm] 0
Kann mir wer sagen wie ich die Aufgabe nun beende ?
lg
Flo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Fr 05.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Was treibst Du da oben eigentlich ?
Ich hab Dir die Aufgabe doch fast vollständig gelöst !
Ist Dir das:
$ [mm] (1+x)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k \ge \vektor{n \\ 2}x^2 [/mm] $
klar ?
Wenn ja, dann bist Du doch fertig, wenn
$ [mm] \vektor{n \\ 2 } \ge \bruch{n^2}{4} [/mm] $ für n $ [mm] \ge [/mm] $ 2
gilt.
Die letzte Ungl. lässt sich mit einfachsten Äquivalenzumformungen zeigen
FRED
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