Bernoullische Ungleichung < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Sei [mm] x\ge-1. [/mm] Dann gilt [mm] (1+x)^n \ge1+nx
[/mm]
Beweise mit vollsrändiger Induktion |
| Aufgabe 2 | | Zeige [mm] n^2\le2^n [/mm] für jede natürliche Zahl [mm] n\not=3. [/mm] |
Ausgangsgleichung:
[mm] (1+x)^n \ge1+nx
[/mm]
Für n=0 wahr:
[mm] 1+0x=1=(1+x)^0
[/mm]
Beweis:
[mm] (1+x)^{n+1}=(1+x)^n*(1+x)
[/mm]
[mm] \ge [/mm] 1+nx
[mm] \ge(1+nx) [/mm] (1+x)
= 1+(n+1)x [mm] +nx^2 (nx^2 \ge0)
[/mm]
Ich denke aber nicht das das so richtig ist. das ganze müsste sicher ausführlicher sein. Ich kann es aber nur so ausdrücken....
so..und wie der Rest der Aufgabe gehen soll, das weiß ich nun gar nicht!! Da brauche ich echt eure Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
> Beweis:
> [mm](1+x)^n+1 =(1+x)^n[/mm] (1+x)
> [mm]\ge[/mm] 1+nx
Diese Zeile stimmt hier nicht.
> [mm]\ge(1+nx)[/mm] (1+x)
> = 1+(n+1)x [mm]+nx^2 (nx^2 \ge0)[/mm]
Und das ist dann: [mm] $\ge [/mm] \ 1+(n+1)*x$
Damit bist Du fertig.
Gruß
Loddar
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Danke Loddar!
Was stimmt genau an der Zeile nicht? wie muss sie denn dann heißen?
Und der Beweis ist dann so ausführlich genug?
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
> Was stimmt genau an der Zeile nicht? wie muss sie denn
> dann heißen?
Der Ausdruck [mm] $\ge [/mm] \ 1+n*x$ ist an dieser Stelle falsch und überflüssig.
> Und der Beweis ist dann so ausführlich genug?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Mathegirl |
okay vielen Dank!
Vielleicht kann mir jemand auch noch bei der 2. Aufgabe helfen. Da weiß ich nicht so recht wie ich das zeigen soll..
Grüße,
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Auch hier wieder eine vollständige Induktion. Führe den Induktionsanfang für $n \ = \ 4$ durch.
Im Induktionsschritt gilt dann:
[mm] $$2^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 2^n*2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] n^2*2 [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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Vielen Dank Loddar!
Aber ich verstehe deinen Indunktionsschritt nicht so richtig.
wieso mal 2?? also [mm] 2^n*2 [/mm] ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Hier habe ich lediglich für [mm] $2^{n+1}$ [/mm] eines der  Potenzgesetze angewandt.
Gruß
Loddar
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Kann sein, dass ich gerade richtig auf dem Schlauch stehe, aber wie kommt man darauf?
Grüße
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mathegirl!
> Kann sein, dass ich gerade richtig auf dem Schlauch stehe,
Möglich 
Es geht doch darum, die Aussage$ [mm] n^2\le2^n [/mm] $ für jede natürliche Zahl [mm] $n\not=3$ [/mm] zu zeigen. Da die Aussage für $n=3$ offensichtlich nicht gilt, fängst du die vollständige Induktion am besten bei $n=4$ an und rechnest die Fälle $n=1$ und $n=2$ einzeln.
Also:
1. Induktionsanfang: Stimmt die Ungleichung für $n=4$.
2. Induktionsschritt: angenommen, die Ungleichung gilt für ein bestimmtes n, also [mm] $n^2\le2^n$.
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $(n+1)^2 \le 2^{n+1} [/mm] $. Wie Loddar schon schrieb, ist [mm] $2^{n+1} [/mm] = 2 * [mm] 2^n$, [/mm] und nach Voraussetzung ist [mm] $2^n\ge n^2$, [/mm] also ist [mm] $2^{n+1} \ge 2*n^2$. [/mm] Jetzt musst du zeigen, dass das [mm] $\ge(n+1)^2$ [/mm] ist...
Zum Schluss die Spezialfälle n=1 und n=2 nicht vergessen!
Viele Grüße
Rainer
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Ich muss also schon die 4 bzw 1 und 2 direkt als Zahl einsetzen oder?
Das ist ja bei dem beispiel wie geschrieben wurde nicht gemacht....
Sorry das ich mich so doof anstelle, aber ich hoffe meine Matheintelligenz kommt irgendwann noch ...
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mathegirl!
> Ich muss also schon die 4 bzw 1 und 2 direkt als Zahl
> einsetzen oder?
> Das ist ja bei dem beispiel wie geschrieben wurde nicht
> gemacht....
Ja aber hier hast du das Problem, dass du die Behauptung für [mm] $n=1,2,4,5,\dots$ [/mm] zeigen sollst, aber nicht für $n=3$. Deswegen kannst du mit der Induktion erst bei 4 anfangen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Sa 24.10.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Ich muss also schon die 4 bzw 1 und 2 direkt als Zahl
> einsetzen oder?
Falls bei euch 0 als natürliche Zahl definiert wurde, solltest dudie auch noch einsetzen.
Viele Grüße
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