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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Alpha23 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für [mm]\alpha, a, b \in \IR, a, b, >0, \alpha>1[/mm] sämtliche positiven Lösungen der Differentialgleichung
[mm]y'=ay+by^{\alpha}[/mm]
Hinweis: Verwenden sie die Substitution [mm]z=y^{1-\alpha}[/mm]
Lösung:
Substituiert man [mm]z=y^{1-\alpha}[/mm] so folgt [mm]z'=(1-\alpha)y^{-\alpha}y'=(1-\alpha)z^{-\bruch{\alpha}{1-\alpha}}[/mm] also [mm]y'=(1-\alpha)^{-1}z'z^{\bruch{\alpha}{1-\alpha}}.[/mm]
Setzen wir dies in die Differentialgleichung ein, so erhalten wir
[mm](1-\alpha)^{-1}z'z^{\bruch{\alpha}{1-\alpha}}=az^{\bruch{1}{1-\alpha}}+bz^{\bruch{\alpha}{1-\alpha}}.[/mm]
Multipliziert man nun beide Seiten der Gleichung mit [mm]z^{-\bruch{\alpha}{1-\alpha}}[/mm] so erhält man die Gleichung
[mm]z'=(1-\alpha)az+(1-\alpha)b,[/mm]
welche man mit Variation der Konstanten löst. Man erhält
[mm]z(x)=\varphi(x)\left( c-\integral_{}^{}{\bruch{(1-\alpha)b(t)}{\varphi(t)}dt}\right)[/mm]
mit der homogenen Lösung
[mm]\varphi(x)=exp\left(\integral_{0}^{x}{(1-\alpha)a(t)dt\right)[/mm]
Die gesuchte Lösung y ist nun durch [mm]y=z^{\bruch{1}{1-\alpha}}[/mm] gegeben. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Frage dazu: Warum darf als Startwert denn einfach [mm]x_{0}=0[/mm] gwählt werden? Warum kommen in der Lösung nirgends die Integrale der Funktionen [mm]a(t)[/mm] und [mm]b(t)[/mm] vor?
Gruß
Timo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Timo,
> Bestimmen Sie für [mm]\alpha, a, b \in \IR, a, b, >0, \alpha>1[/mm]
> sämtliche positiven Lösungen der Differentialgleichung
> [mm]y'=ay+by^{\alpha}[/mm]
> Hinweis: Verwenden sie die Substitution [mm]z=y^{1-\alpha}[/mm]
>
> Lösung:
> Substituiert man [mm]z=y^{1-\alpha}[/mm] so folgt
> [mm]z'=(1-\alpha)y^{-\alpha}y'=(1-\alpha)z^{-\bruch{\alpha}{1-\alpha}}[/mm]
> also [mm]y'=(1-\alpha)^{-1}z'z^{\bruch{\alpha}{1-\alpha}}.[/mm]
> Setzen wir dies in die Differentialgleichung ein, so
> erhalten wir
>
> [mm](1-\alpha)^{-1}z'z^{\bruch{\alpha}{1-\alpha}}=az^{\bruch{1}{1-\alpha}}+bz^{\bruch{\alpha}{1-\alpha}}.[/mm]
>
> Multipliziert man nun beide Seiten der Gleichung mit
> [mm]z^{-\bruch{\alpha}{1-\alpha}}[/mm] so erhält man die Gleichung
>
> [mm]z'=(1-\alpha)az+(1-\alpha)b,[/mm]
>
> welche man mit Variation der Konstanten löst.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Soweit klar?
> Man erhält
>
> [mm]z(x)=\varphi(x)\left( c-\integral_{}^{}{\bruch{(1-\alpha)b(t)}{\varphi(t)}dt}\right)[/mm]
>
> mit der homogenen Lösung
>
> [mm]\varphi(x)=exp\left(\integral_{0}^{x}{(1-\alpha)a(t)dt\right)[/mm]
>
> Die gesuchte Lösung y ist nun durch
> [mm]y=z^{\bruch{1}{1-\alpha}}[/mm] gegeben.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine Frage dazu: Warum darf als Startwert denn einfach
> [mm]x_{0}=0[/mm] gwählt werden?
Die Menge aller homogenen Lösungen ist ja gegeben durch $c [mm] \cdot \varphi(x)$ [/mm] für ein $c [mm] \in \IR$. [/mm] Wenn du den Startwert im Integral änderst, dann ändert sich die Funktion [mm] \varphi [/mm] nur um eine multiplikative Konstante. Also
[mm]e^{\int_{-1}^x \ldots}=e^{\int_{-1}^0 \ldots + \int_0^x \ldots}[/mm].
Die allgemeine Lösung beinhaltet ja wieder eine Konstante, da du keinen Startwert vorgegeben hattest. Die Lösungsmenge ist also eine Schar von Funktionen.
> Warum kommen in der Lösung nirgends
> die Integrale der Funktionen [mm]a(t)[/mm] und [mm]b(t)[/mm] vor?
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Wieso denn? In der Bestimmung von [mm] $\varphi(x)$ [/mm] und [mm]z(x)[/mm] kommen doch a und b vor?!
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Alpha23 |
Hallo!
Ich meine, warum die beiden Funktionen in der Lösung [mm]y=z^{\bruch{1}{1-\alpha}}[/mm] nicht mehr vorkommen.
Timo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Timo,
> Hallo!
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> Ich meine, warum die beiden Funktionen in der Lösung
> [mm]y=z^{\bruch{1}{1-\alpha}}[/mm] nicht mehr vorkommen.
aber sie kommen doch vor! Denn sie stecken in der Funktion [mm]z(x)[/mm]! Der letzte Schritt ist dann nur noch die Rücksubstitution!
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Alpha23 |
Aua! Ja, danke, voll übersehen! ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Timo,
noch eine kleine Ergänzung, da du ja keine Funktionen $a(t)$ und $b(t)$ hast, sondern Konstanten. Deshalb kannst du die Lösungen ja noch vereinfachen:
> [mm]z'=(1-\alpha)az+(1-\alpha)b,[/mm]
> [mm]z(x)=\varphi(x)\left( c-\integral_{}^{}{\bruch{(1-\alpha)b(t)}{\varphi(t)}dt}\right)[/mm]
>
> mit der homogenen Lösung
>
> [mm]\varphi(x)=exp\left(\integral_{0}^{x}{(1-\alpha)a(t)dt\right)[/mm]
>
> Die gesuchte Lösung y ist nun durch
> [mm]y=z^{\bruch{1}{1-\alpha}}[/mm] gegeben.
Nach Integration kommst du auf
[mm]\varphi(x)=e^{(1-\alpha)at}[/mm]
und daher
[mm]z(x)=e^{(1-\alpha)at}\left(c-(1-\alpha)b \int e^{(\alpha-1)at} \, dt \right)[/mm]
[mm]= \ldots = c e^{(1-\alpha)at}+\bruch{b}{a}[/mm].
Fehlt dann nur noch die Rücksubstitution.
Viele Grüße
Astrid
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