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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | (Bernoullische Differentialgleichung)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Bernoullischen Differentialgleichung
[mm] y^{,}+y=y^{3}sin(x).
[/mm]
Geben Sie außerdem die Lösung zur Anfangsbedingung [mm] y(2\pi)=\wurzel{\bruch{5}{7}} [/mm] an. |
Hallo liebe Matheraum- Community,
über ein kurzes Feedback hinsichtlich meines Zwischenergebnisses würde ich mich sehr freuen. Möglicherweise hat sich dort ein Fehler eingeschlichen, da sich sonst die zu ermittelnde Lösung der Anfangsbedingung nur sehr umständlich berechnen lässt, was meiner Meinung nicht richtig wäre.
1.) Zunächst führe ich die Bernoulli DGL auf eine lineare DGL 1. Ordnung zurück:
[mm] y^{,}+y=y^{3}sin(x), [/mm] mit f(x)=1 gemäß [mm] y^{,}+f(x)y=r(x)y^{a} ,(a\not=0,1)
[/mm]
der Ansatz gemäß [mm] u=y^{1-a} [/mm] sowie [mm] u^{,}=(1-a)y^{-a}y^{,} [/mm] liefert:
[mm] u=y^{-2}, u^{,}=-2y^{-3}y^{,}´
[/mm]
2.) Die lineare DGL 1. Ordnung gemäß [mm] (u^{,}+(1-a)f(x)u=(1-a)r(x) [/mm] lautet:
[mm] u^{,}-2u=-2sin(x)
[/mm]
[mm] u_{H}=e^{2x}ce^{2c} [/mm] und [mm] u_{S}=-\bruch{1}{5}(cos(x)+2sin(x))+ce^{2x}
[/mm]
3.) für [mm] u=u_{H}+u_{S} [/mm] erhalte ich dann:
[mm] e^{2x}c(e^{2c}-\bruch{1}{5}(cos(x)+2sin(x))
[/mm]
Vielleicht könnte mir jemand sagen, ob es soweit stimmt, oder wo sich eventuell ein Fehler befindet. Vielen Dank für eure Bemühungen. Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel08,
> (Bernoullische Differentialgleichung)
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Bernoullischen
> Differentialgleichung
>
> [mm]y^{,}+y=y^{3}sin(x).[/mm]
>
> Geben Sie außerdem die Lösung zur Anfangsbedingung
> [mm]y(2\pi)=\wurzel{\bruch{5}{7}}[/mm] an.
> Hallo liebe Matheraum- Community,
>
> über ein kurzes Feedback hinsichtlich meines
> Zwischenergebnisses würde ich mich sehr freuen.
> Möglicherweise hat sich dort ein Fehler eingeschlichen, da
> sich sonst die zu ermittelnde Lösung der Anfangsbedingung
> nur sehr umständlich berechnen lässt, was meiner Meinung
> nicht richtig wäre.
>
>
>
> 1.) Zunächst führe ich die Bernoulli DGL auf eine lineare
> DGL 1. Ordnung zurück:
>
>
> [mm]y^{,}+y=y^{3}sin(x),[/mm] mit f(x)=1 gemäß [mm]y^{,}+f(x)y=r(x)y^{a} ,(a\not=0,1)[/mm]
>
>
> der Ansatz gemäß [mm]u=y^{1-a}[/mm] sowie [mm]u^{,}=(1-a)y^{-a}y^{,}[/mm]
> liefert:
>
>
> [mm]u=y^{-2}, u^{,}=-2y^{-3}y^{,}´[/mm]
>
>
>
> 2.) Die lineare DGL 1. Ordnung gemäß
> [mm](u^{,}+(1-a)f(x)u=(1-a)r(x)[/mm] lautet:
>
>
> [mm]u^{,}-2u=-2sin(x)[/mm]
>
>
> [mm]u_{H}=e^{2x}ce^{2c}[/mm] und
> [mm]u_{S}=-\bruch{1}{5}(cos(x)+2sin(x))+ce^{2x}[/mm]
>
>
Hier ist nur
[mm]\integral_{}^{}{e^{-2x}*\sin\left(x\right) \ dx}[/mm]
berechnet worden.
Richtigerweise muß berechnet werden:
[mm]\red{-2}*\integral_{}^{}{e^{-2x}*\sin\left(x\right) \ dx}[/mm]
Die Lösung der DGL für u ergibt sich dann zu:
[mm]u\left(x\right)=c*e^{2x}\red{-2}*\integral_{}^{}{e^{-2x}*\sin\left(x\right) \ dx}[/mm]
>
> 3.) für [mm]u=u_{H}+u_{S}[/mm] erhalte ich dann:
>
>
> [mm]e^{2x}c(e^{2c}-\bruch{1}{5}(cos(x)+2sin(x))[/mm]
>
>
>
>
> Vielleicht könnte mir jemand sagen, ob es soweit stimmt,
> oder wo sich eventuell ein Fehler befindet. Vielen Dank für
> eure Bemühungen. Gruß,
>
>
>
> Marcel
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Ich danke dir. Schon erstaunlich wie ihr so unscheinbare Fehler in windeseile entdeckt.  Gruß,
Marcel
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