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Hallo,
folgender Grenzwert soll berechnet werden:
[mm] \lim_{x\to\ 0} (2x)^x
[/mm]
In meinem Buch steht aus dem unbestimmten Ausdruck [mm] 0^0 [/mm] wird [mm] e^{v(x)*ln(u(x))}
[/mm]
So komme ich auf
[mm] e^{x*ln(2x)}
[/mm]
Hier wird nun der Grenzwert des Exponenten gebildet
[mm] \lim_{x\to\ 0}[x*ln(2x)]
[/mm]
Im Lösungsbuch steht nun
[mm] \lim_{x\to\ 0}[x*ln(2x)]=\lim_{x\to\ 0}\br{ln(2x)}{\br{1}{x}}
[/mm]
Das verstehe ich nicht weil im gleichen Buch steht nämlich auch eine Tabelle über "Elementare Umformungen für "unbestimmte Ausdrücke" folgendes:
Für die Funktion u(x)*v(x) gilt bei einem Grenzwert [mm] lim_{x\to\ x_0} [/mm] also [mm] 0*\infty [/mm] bzw. [mm] \infty*0 [/mm] die elementare Umformung [mm] \br{u(x)}{\br{1}{v(x)}} [/mm] bzw. [mm] \br{v(x)}{\br{1}{u(x)}} [/mm]
Aber der Grenzwert der unendlich wird bei x*ln(2x) ist doch ln(2x). Also müsste es doch so aussehen:
[mm] \lim_{x\to\ 0}[x*ln(2x)]=\lim_{x\to\ 0}\br{x}{\br{1}{ln(2x)}}
[/mm]
Sieht jemand den Denkfehler?
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> Hallo,
> folgender Grenzwert soll berechnet werden:
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> [mm]\lim_{x\to\ 0} (2x)^x[/mm]
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> In meinem Buch steht aus dem unbestimmten Ausdruck [mm]0^0[/mm] wird
> [mm]e^{v(x)*ln(u(x))}[/mm]
>
> So komme ich auf
>
> [mm]e^{x*ln(2x)}[/mm]
>
> Hier wird nun der Grenzwert des Exponenten gebildet
>
> [mm]\lim_{x\to\ 0}[x*ln(2x)][/mm]
>
> Im Lösungsbuch steht nun
>
> [mm]\lim_{x\to\ 0}[x*ln(2x)]=\lim_{x\to\ 0}\br{ln(2x)}{\br{1}{x}}[/mm]
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> Das verstehe ich nicht weil im gleichen Buch steht nämlich
> auch eine Tabelle über "Elementare Umformungen für
> "unbestimmte Ausdrücke" folgendes:
>
> Für die Funktion u(x)*v(x) gilt bei einem Grenzwert
> [mm]lim_{x\to\ x_0}[/mm] also [mm]0*\infty[/mm] bzw. [mm]\infty*0[/mm] die elementare
> Umformung [mm]\br{u(x)}{\br{1}{v(x)}}[/mm] bzw.
> [mm]\br{v(x)}{\br{1}{u(x)}}[/mm]
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> Aber der Grenzwert der unendlich wird bei x*ln(2x) ist doch
> ln(2x). Also müsste es doch so aussehen:
>
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> [mm]\lim_{x\to\ 0}[x*ln(2x)]=\lim_{x\to\ 0}\br{x}{\br{1}{ln(2x)}}[/mm]
>
> Sieht jemand den Denkfehler?
Hallo,
Grenzwerte der Machart [mm] 0*\infty [/mm] oder [mm] \infty [/mm] *0 versucht man umzuarbeiten in solche der Machart [mm] \bruch{0}{0} [/mm] ODER [mm] \bruch{\infty}{\infty},
[/mm]
in der Hoffnung, sie dann mit L'Hospital bearbeiten zu können.
Funktioniert das eine nicht, versucht man das andere.
Mit L'Hospital bekommt man mit der Umformung Deiner Chefs
[mm] \lim_{x\to\ 0}[x*ln(2x)]=\lim_{x\to\ 0}\br{ln(2x)}{\br{1}{x}}=\lim_{x\to\ 0}\br{2*\bruch{1}{2x}}{-\br{1}{x^2}}=...=0.
[/mm]
Das funktioniert also.
Wenn man es [mm] mit\lim_{x\to\ 0}[x*ln(2x)]=\lim_{x\to\ 0}\br{x}{\br{1}{ln(2x)}} [/mm] macht, bekommt man mit l'Hospital
[mm] \lim_{x\to\ 0}[x*ln(2x)]=\lim_{x\to\ 0}\br{x}{\br{1}{ln(2x)}}=\lim_{x\to\ 0}\br{1}{-\br{1}{x*(ln(2x))^2}}=\lim_{x\to\ 0}(-x*(ln(2x))^2),
[/mm]
und man hat nichts gewonnen. Das funktioniert also nicht.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Di 16.02.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo sonic5000!
Ist bekannt, dass gilt
[mm] $\lim_{x\to 0}x^x=1$ [/mm] und [mm] $\lim_{x\to 0}2^x=1$,
[/mm]
so folgt
[mm] $\lim_{x\to 0}(2x)^x\overset{\text{Potenzgesetze}}{=}\lim_{x\to 0}2^x*x^x\overset{\text{Grenzwertsätze}}{=}\lim_{x\to 0}2^x*\lim_{x\to 0}x^x=1*1=1$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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