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| Aufgabe | Bestimme Lösung der ODE im ersten Quadranten, d.h. t>0 und x(t)>0.
a) [mm] 0=x'(t)+\bruch{x(t)}{2t}- \bruch{1}{x(t)} [/mm] |
Hallo, ich rechne nun schon einige male diese Aufgabe durch und bekomme am Ende irgendwie immer ein Vorzeichen Problem. Vielleicht kann einer von euch meinen Fehler erkennen:
Also :
0=x'(t)+ [mm] \bruch{x(t)}{2t}-\bruch{1}{x(t)} \gdw...
[/mm]
[mm] 2=z'(t)+\bruch{z(t)}{t} [/mm] mit [mm] z(t)=x(t)^2
[/mm]
Hierfür erst die Lösung des homogenen Falls:
[mm] 0=z'(t)+\bruch{z(t)}{t} \gdw
[/mm]
ln|z(t)|=-ln(t) + c [mm] \gdw
[/mm]
z(t)=t*c mit c konstant
Nun mit Ansatz von Lagrange:
z(t)=t*c(t) [mm] \gdw
[/mm]
c(t)= [mm] \bruch{z(t)}{t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] c'(t)= [mm] \bruch{t*z'(t)-z(t)}{t^2}=\bruch{1}{t}*(z'(t)-z(t)*\bruch{1}{t})
[/mm]
aber mein [mm] h(x)=2=(z'(t)+z(t)*\bruch{1}{t})
[/mm]
somit kann ich in obiger zeile nich die klammer durch h(x)=2 ersetzen.
Bisher hat diese Methode immer funktioniert nur was mache ich bei dieser Aufgabe falsch??
Vielen Dank für eure Hilfe.
als kleine Zusatzfrage, die mich momentan plagt ist, warum der Ansatz von Lagrange also die Variation der Konstanten zum Ziel führt bzw. was dieses vorgehen genau rechtfertigt. Vielleicht weiß einer von euch ja auch auf diese Frage eine Antwort
Gruß
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ich glaube den Fehler gefunden zu haben.
es muss bei der Lösung der homogenen lineraren DGL heissen:
[mm] \bruch{z'(t)}{z(t)}=- \bruch{1}{t} \gdw
[/mm]
[mm] z(t)=\bruch{c}{t} [/mm] mit c konstant
wegen dem -....
so gehts.
Danke. Aber vielleicht kann ja jemand mir die variation genauer durchleucten...´
Gruß
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Hallo raubkaetzchen,
> Bestimme Lösung der ODE im ersten Quadranten, d.h. t>0 und
> x(t)>0.
>
> a) [mm]0=x'(t)+\bruch{x(t)}{2t}- \bruch{1}{x(t)}[/mm]
> Hallo, ich
> rechne nun schon einige male diese Aufgabe durch und
> bekomme am Ende irgendwie immer ein Vorzeichen Problem.
> Vielleicht kann einer von euch meinen Fehler erkennen:
>
> Also :
>
> 0=x'(t)+ [mm]\bruch{x(t)}{2t}-\bruch{1}{x(t)} \gdw...[/mm]
>
> [mm]2=z'(t)+\bruch{z(t)}{t}[/mm] mit [mm]z(t)=x(t)^2[/mm]
>
> Hierfür erst die Lösung des homogenen Falls:
> [mm]0=z'(t)+\bruch{z(t)}{t} \gdw[/mm]
>
> ln|z(t)|=-ln(t) + c [mm]\gdw[/mm]
>
> z(t)=t*c mit c konstant
Aus
[mm]ln|z(t)|=-ln(t) + c[/mm]
folgt
[mm]z\left(t\right)=c* \red{\bruch{1}{t}}[/mm]
>
> Nun mit Ansatz von Lagrange:
>
> z(t)=t*c(t) [mm]\gdw[/mm]
> c(t)= [mm]\bruch{z(t)}{t}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] c'(t)=
> [mm]\bruch{t*z'(t)-z(t)}{t^2}=\bruch{1}{t}*(z'(t)-z(t)*\bruch{1}{t})[/mm]
>
> aber mein [mm]h(x)=2=(z'(t)+z(t)*\bruch{1}{t})[/mm]
>
> somit kann ich in obiger zeile nich die klammer durch
> h(x)=2 ersetzen.
>
> Bisher hat diese Methode immer funktioniert nur was mache
> ich bei dieser Aufgabe falsch??
Die homogene Lösung stimmt hier nicht (siehe oben).
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
>
> als kleine Zusatzfrage, die mich momentan plagt ist, warum
> der Ansatz von Lagrange also die Variation der Konstanten
> zum Ziel führt bzw. was dieses vorgehen genau
> rechtfertigt. Vielleicht weiß einer von euch ja auch auf
> diese Frage eine Antwort
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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