Bernoulli-Ketten u. Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | An der SChule findet zur gleichen Zeit eine Tombola statt, bei der laut Reklame 20% der Lose Gewinnlose sind. Zunächst wird davon ausgegangen, dass diese Behauptung zutrifft.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 15 Losen mindestens zwei Gewinnlose sind?
b) Wie viele Lose muss man mindestens kaufen, um mit mehr als 90% Sicherheit wenigstens ein Gewinnlos zu erhalten? |
| Aufgabe 2 | Plötzlich kommen Zweifel auf, ob tatsächlich 20% der Lose Gewinnlose sind. Um diese Behauptung zu testen, werden nun 100 Lose gekauft. Die Behauptung wird abgelehnt, wenn darunter weniger als 16 Gewinnlose sind.
c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, die Behauptung abzulehnen, obwohl sie zutrifft?
d) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, die Behauptung anzunehmen, obwohl in Wirklichkeit nur jedes sechste Los gewinnt? |
Hallo zusammen,
hier ist die schöne Fortsetzung. Würdet ihr bitte, einen Blick drauf werfen und meine Ergebnisse bestätigen oder einfach verbessern. Vielen Dank nochmals.
a) das Gegenereignis: kein oder 1 Gewinnlos, d.h. also die zwei Bernoulliketten addieren:
1- [mm] \summe_{i=0}^{1}\vektor{15 \\ i}* 0.2^{i}* 0.8^{15-i}= [/mm] 0.83
b) Gegenereignis: nur Nieten ziehen, bis die Wahrscheinlichkeit unter 0.1 sinkt:
[mm] 0.8^{n}=0.1
[/mm]
n=11 Lose
c) [mm] H_{0}: [/mm] p=0.2
[mm] H_{1}: [/mm] p<0.2 (linksseitiger Test)
[mm] \summe_{i=0}^{15}\vektor{100 \\ i}* 0.2^{i}* 0.8^{100-i}= [/mm] 0.12
Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt 88%.
d) [mm] H_{1}: [/mm] p<0.2 (linksseitiger Test), nämlich p=1/6
[mm] \summe_{i=0}^{15}\vektor{100 \\ i}* (1/6)^{i}* (5/6)^{100-i}= [/mm] 0.39
Die Behauptung anzunehmen stimmt zu 61% der Fälle.
Könnt ihr mir sagen ob die Hypothesentests stimmen? ich verwechsle da dauernd [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] Fehler.
Tschüss
Gorky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Gorky,
> An der SChule findet zur gleichen Zeit eine Tombola statt,
> bei der laut Reklame 20% der Lose Gewinnlose sind. Zunächst
> wird davon ausgegangen, dass diese Behauptung zutrifft.
>
> a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter
> 15 Losen mindestens zwei Gewinnlose sind?
>
> b) Wie viele Lose muss man mindestens kaufen, um mit mehr
> als 90% Sicherheit wenigstens ein Gewinnlos zu erhalten?
> Plötzlich kommen Zweifel auf, ob tatsächlich 20% der Lose
> Gewinnlose sind. Um diese Behauptung zu testen, werden nun
> 100 Lose gekauft. Die Behauptung wird abgelehnt, wenn
> darunter weniger als 16 Gewinnlose sind.
>
> c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, die Behauptung
> abzulehnen, obwohl sie zutrifft?
>
> d) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, die Behauptung
> anzunehmen, obwohl in Wirklichkeit nur jedes sechste Los
> gewinnt?
> Hallo zusammen,
>
> hier ist die schöne Fortsetzung. Würdet ihr bitte, einen
> Blick drauf werfen und meine Ergebnisse bestätigen oder
> einfach verbessern. Vielen Dank nochmals.
>
> a) das Gegenereignis: kein oder 1 Gewinnlos, d.h. also die
> zwei Bernoulliketten addieren:
>
> 1- [mm]\summe_{i=0}^{1}\vektor{15 \\ i}* 0.2^{i}* 0.8^{15-i}=[/mm]
> 0.83
>
> b) Gegenereignis: nur Nieten ziehen, bis die
> Wahrscheinlichkeit unter 0.1 sinkt:
>
> [mm]0.8^{n}=0.1[/mm]
>
> n=11 Lose
>
> c) [mm]H_{0}:[/mm] p=0.2
>
> [mm]H_{1}:[/mm] p<0.2 (linksseitiger Test)
>
> [mm]\summe_{i=0}^{15}\vektor{100 \\ i}* 0.2^{i}* 0.8^{100-i}=[/mm]
> 0.12
>
So, bis hierhin sieht alles OK aus, ich habe allerdings nicht die Zahlen nachgerechnet. Ich weiss also nicht, ob du richtig gerechnet/Tabellen abgelesen hast,aber die Rechenwege würd ich absegnen.
> Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt 88%.
Nein, die 0,12 sind bereits die Irrtumswahrscheinlichkeit [mm] \alpha, [/mm] nämlich die W'keit, dass [mm] H_0 [/mm] abgelehnt wird, also X(=Anzahl der Gewinnlose) im Ablehnungsbereich ist, obwohl [mm] H_0 [/mm] (p=0,2) zutrifft.
Allgemeiner Ansatz immer:
[mm] \alpha=P_{H_0}(X [/mm] im Ablehnungsbereich von [mm] H_0)
[/mm]
>
> d) [mm]H_{1}:[/mm] p<0.2 (linksseitiger Test), nämlich p=1/6
>
> [mm]\summe_{i=0}^{15}\vektor{100 \\ i}* (1/6)^{i}* (5/6)^{100-i}=[/mm]
> 0.39
>
> Die Behauptung anzunehmen stimmt zu 61% der Fälle.
>
Du meinst das Richtige, aber der Antwortsatz ist so falsch. Wenn ich mal pingelig sein darf, dein Ansatz sollte so aussehen:
Ansatz für [mm] \beta [/mm] (auch Fehler 2.Art genannt) ist immer
[mm] \beta=P_{H_1}(X [/mm] im Annahmebreich von [mm] H_0)
[/mm]
was bei dir dann, so aussähe:
[mm] \beta=P_{H_1}(X>16)=1-P_{H_1}(X\le15)=1-0,39=0.61
[/mm]
Und der Anwortsatz, der keinen Lehrer zu Punktabzug bewegen kann, lautet dann:
Die W'keit, die Nullhypothese fälschlicherweise nicht abzulehnen, beträgt 61%.
Ist relativ pingelig von mir, aber ist ja nur gut gemeint 
>
> Könnt ihr mir sagen ob die Hypothesentests stimmen? ich
> verwechsle da dauernd [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] Fehler.
>
> Tschüss
>
> Gorky
>
L G walde
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