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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mo 14.07.2008 | | Autor: | tresen |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks [mm]S= \{ (x,y,z)/z=xy, x^2+y^2 \le 1 \} [/mm]! |
ich komme irgendwie auf 0. rauskommen sollte [mm] \bruch{2 \pi}{3} (2* \wurzel{2} - 1 )[/mm]
meine lösung:
[mm]I = \integral_B{f(x,y) dB} [/mm] [mm]f(x,y)=z=xy[/mm]
[mm]x=r \cos (\varphi)[/mm]
[mm]y=r \sin (\varphi)[/mm]
[mm]dB=r drd\varphi[/mm]
[mm]f(r,\varphi)=r^2 \cos(\varphi)\sin (\varphi)[/mm]
[mm]I = \integral_{\varphi=0}^{2\pi}{\integral_{r=0}^{1}{f(r,\varphi)r dr} d\varphi} = \integral_{\varphi=0}^{2\pi}{\integral_{r=0}^{1}{r^3 * \cos (\varphi)*\sin (\varphi) dr} d\varphi=0} [/mm]
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Das von dir aufgestellte Integral hat in der Tat den Wert 0. Es wäre nur die Frage, ob du das überhaupt berechnen sollst. Es ist ja in der Aufgabe von einem "Flächenstück" die Rede. Vielleicht sollst du ja den Flächeninhalt des Graphen der Funktion
[mm]z = f(x,y) = xy[/mm]
über dem Kreis [mm]x^2 + y^2 \leq 1[/mm] berechnen. In Deinem Integral hast du dagegen einen Rauminhalt berechnet. Da aber genauso viele Raumteile unterhalb der Ebene [mm]z=0[/mm] wie oberhalb liegen, heben sich diese gegenseitig weg, so daß sich in der Summe der Wert 0 ergibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Mo 14.07.2008 | | Autor: | tresen |
> Das von dir aufgestellte Integral hat in der Tat den Wert
> 0. Es wäre nur die Frage, ob du das überhaupt berechnen
> sollst. Es ist ja in der Aufgabe von einem "Flächenstück"
> die Rede. Vielleicht sollst du ja den Flächeninhalt des
> Graphen der Funktion
>
> [mm]z = f(x,y) = xy[/mm]
>
> über dem Kreis [mm]x^2 + y^2 \leq 1[/mm] berechnen.
Wie mache ich das??
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Das Flächenelement [mm]\mathrm{d}o[/mm] (auch mit [mm]\mathrm{d} \sigma[/mm] oder [mm]\mathrm{d}S[/mm] bezeichnet) für eine durch
[mm](x,y,z) = \varphi(u,v) \ \ \text{mit} \ \ (u,v) \in B[/mm]
parametrisierte Fläche [mm]\mathfrak{F}[/mm] ist
[mm]\mathrm{d}o = \left| \frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v} \right| ~ \mathrm{d}(u,v)[/mm]
Die senkrechten Striche bedeuten dabei die euklidische Länge, das Kreuz ist das Vektorprodukt im [mm]\mathbb{R}^3[/mm]. Ist speziell die Fläche der Graph einer Funktion [mm]f[/mm], also
[mm]\varphi(u,v) = \left( u,v,f(u,v) \right) \ \ \text{mit} \ \ (u,v) \in B[/mm]
so folgt
[mm]\frac{\partial \varphi}{\partial u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \frac{\partial f}{\partial u} \end{pmatrix} \, , \ \ \frac{\partial \varphi}{\partial v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \frac{\partial f}{\partial v} \end{pmatrix}[/mm]
also
[mm]\frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v} = \begin{pmatrix} - \frac{\partial f}{\partial u} \\ \frac{\partial f}{\partial v} \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Und mit dem Betrag hiervon bekommt man, wenn man nachträglich [mm]u[/mm] in [mm]x[/mm] und [mm]v[/mm] in [mm]y[/mm] umbenennt:
[mm]\mathrm{d}o = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)^2} ~ \mathrm{d}(x,y)[/mm]
Und darüber mußt du nun zur Berechnung des Flächeninhalts [mm]A[/mm] von [mm]\mathfrak{F}[/mm] integrieren:
[mm]A = \int_{\mathfrak{F}}~\mathrm{d}o = \int_B \sqrt{1 + \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)^2}}~\mathrm{d}(x,y)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Mo 14.07.2008 | | Autor: | tresen |
danke!
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