Bereich des Re- und Im-Teil < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Befassen Sie sich mit dieser Funktion:
[mm] f(z)=z^2
[/mm]
a) Geben Sie den Bereich der Funktion für Re(z)=1 an.
b) Geben Sie den Bereich der Funktion für Im(z)*Re(z)=1 an. |
Hallo :)
Ich habe mir folgende Gedanken zu der Aufgabe gemacht.
Zuerst zu a:
[mm] z^2=(a^2+2abi-b^2)
[/mm]
der Realteil ist [mm] a^2-b^2 [/mm] dieses muss nun gleich 1 sein.
Aber was ist der Bereich in dem das gilt?
Es gilt wenn [mm] a=\wurzel{1-b^2} [/mm] aber stimmt das?
b:
Realteil mal Imaginärteil ergibt:
[mm] 2{a^2}bi-2a{b^2}i
[/mm]
das kann in meinen Augen gar nicht 1 werden, weil ich immer ein i habe. Oder?
Vielen Dank für einen Denkanstoss :)
Liebe Grüße und Danke für die Mithilfe
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> Befassen Sie sich mit dieser Funktion:
> [mm]f(z)=z^2[/mm]
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> a) Geben Sie den Bereich der Funktion für Re(z)=1 an.
> b) Geben Sie den Bereich der Funktion für Im(z)*Re(z)=1
> an.
> Hallo :)
>
> Ich habe mir folgende Gedanken zu der Aufgabe gemacht.
> Zuerst zu a:
>
> [mm]z^2=(a^2+2abi-b^2)[/mm]
> der Realteil ist [mm]a^2-b^2[/mm] dieses muss nun gleich 1 sein.
> Aber was ist der Bereich in dem das gilt?
> Es gilt wenn [mm]a=\wurzel{1-b^2}[/mm] aber stimmt das?
EDIT: Wie roadrunner bemerkt, beschäftigen wir uns hier gerade mit dem real- und Imaginärteil von [mm] z^2, [/mm] was ja lt. Aufgabenstellung gar nicht gefordert ist...
Hallo,
nein. Es ist doch [mm] a^2=1\red{+b}^2,
[/mm]
und dementsprechend hat man [mm] a=\blue{\pm}\wurzel{1+b^2}.
[/mm]
>
> b:
> Realteil mal Imaginärteil ergibt:
> [mm]2{a^2}bi-2a{b^2}i[/mm]
> das kann in meinen Augen gar nicht 1 werden, weil ich
> immer ein i habe. Oder?
Nein, ein i kommt da nicht vor, denn der Imaginärteil ist 2ab, also ohne das i.
Gruß v. Angela
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Hallo Alaizabel!
Ich würde das hier anders interpretieren, da es heißt: [mm] $\text{Re}(z) [/mm] \ = \ [mm] \text{Re}(a+b*i) [/mm] \ = \ a \ = \ 1$ .
Damit ergibt sich für diesen Fall:
$$f(z) \ = \ [mm] z^2 [/mm] \ = \ [mm] (1+b*i)^2 [/mm] \ = \ [mm] 1+2b*i-b^2$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo :)
Oh ja! so habe ich das noch gar nicht betrachtet.
Vielen Dank für die Hilfe :)
Aber wie sieht es bei b) aus?
dann habe ich ab=1
[mm] a=\bruch{1}{b}
[/mm]
[mm] b=\bruch{1}{a}
[/mm]
[mm] z^2=(\bruch{1}{b}+\bruch{1}{a}*i)^2
[/mm]
[mm] z^2= {\bruch{1}{b}}^2+\bruch{2}{ab}-{\bruch{1}{a}}^2
[/mm]
ist die Idee richtig vervollständig?
Vielen liebe Dank für die Mühen :)
Liebe Grüße
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Hallo Alaizabel!
> dann habe ich ab=1
> [mm]a=\bruch{1}{b}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das reicht dann auch.
> [mm]b=\bruch{1}{a}[/mm]
> [mm]z^2=(\bruch{1}{b}+\bruch{1}{a}*i)^2[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Jetzt hast Du doppelt substituiert.
Es "reicht" so, indem man lediglich eine der beiden Werte ersetzt. Also z.B.:
[mm] $$z^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{b}+b*i\right)^2 [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
danke für Deine Korrektur! Im zuviel durcheinander rechnen bin ich Weltmeister ;)
[mm] z^2 [/mm] = [mm] \left(\bruch{1}{b}+b\cdot{}i\right)^2 [/mm] = [mm] ({\bruch{1}{b}})^2+2i-b^2
[/mm]
passt das?
aber ist das jetzt der gefragte Bereich?
Vielen Dank und liebe Grüße :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Do 29.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Roadrunner,
>
> danke für Deine Korrektur! Im zuviel durcheinander rechnen
> bin ich Weltmeister ;)
>
>
> [mm]z^2[/mm] = [mm]\left(\bruch{1}{b}+b\cdot{}i\right)^2[/mm] =
> [mm]({\bruch{1}{b}})^2+2i-b^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> passt das?
>
> aber ist das jetzt der gefragte Bereich?
Bestimme den Wertebereich W der Funktion $h(b) := \bruch{1}{b^2}}-b^2$ (b \not= 0)
Der gefragte Bereich ist dann = { u \in \IC: Re(u) \in W, Im(u) = 2i }
FRED
>
> Vielen Dank und liebe Grüße :)
>
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Hallo :)
Danke für Deine Hilfe :)
Das gilt aber nur für b=2i oder?
Liebe Grüße :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Do 29.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
über die Frage hast du nicht lang genug nachgedacht. was ist [mm] Im(z^2) [/mm] für ein beliebiges b?
Gruss leduart
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Hallo leduart,
vielen Dank für Deine Hilfe :)
[mm] z^2=a^2+2abi-b^2
[/mm]
[mm] Im(z^2)=2ab
[/mm]
stimmt das?
Liebe Grüße und vielen Dank :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Do 29.10.2009 | | Autor: | Infinit |
Ja, das ist der Imaginärteil dieses Ausdrucks.
Viele Grüße,
Infinit
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und diesen Im-teil muss ich ja nun noch mit dem Re-teil multpilzieren und komme auf [mm] 2*a^3*b+2*a*b^3=1
[/mm]
für welchen Bereich ist die gültig?
vielen lieben Dank für eure Hilfe :)
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Fr 30.10.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Alaizabel,
jetzt ist hier der gleiche Fehler aufgetreten, wie beim Lösen der ersten Aufgabe. Es geht hier darum, dass das Produkt aus Realteil und Imaginärteil von z, nicht von f(z), den Wert 1 annehmen soll. Fred hat hierfür den richtigen Tipp bereits geliefert. b ist aus den reellen Zahlen und b zum Quadrat ist sicher immer positiv. Welcher Wertebereich ergibt sich dann für einen Ausdruck
$$ [mm] \bruch{1}{b^2} [/mm] - [mm] b^2 \, [/mm] ? $$
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo infint :)
vielen Dank für deine Mühen :)
Welcher
Wertebereich ergibt sich dann für einen Ausdruck
[mm]\bruch{1}{b^2} - b^2 \, ?[/mm]
da hatten wir oder fred ja schon rausgefunden das es um diesen Wertebereich handelt:
{u [mm] \in \IC: [/mm] Re(u) [mm] \in [/mm] W, Im(u) = 2i}
das stimmt doch immer noch oder?
irgendwie habe ich den faden verloren :(
also:
[mm] \bruch{1}{b^2} [/mm] - [mm] b^2 [/mm] \ ist die lösung der realteils der Funktion [mm] f(z)=z^2?
[/mm]
der imganiärteil ist dann 2.
damit gilt für Re(z)*Im(z)=1
[mm] (\bruch{1}{b^2} [/mm] - [mm] b^2)*2=1
[/mm]
oder?
vielen lieben dank für eure Hilfe :)
ich hoff ich hab das jetzt mal entschlüsselt :)
Liebe Grüße
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Hallo Alaizabel,
> Hallo infint :)
>
> vielen Dank für deine Mühen :)
>
> Welcher
> Wertebereich ergibt sich dann für einen Ausdruck
> [mm]\bruch{1}{b^2} - b^2 \, ?[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> da hatten wir oder fred ja schon rausgefunden das es um
> diesen Wertebereich handelt:
>
>
> {u [mm]\in \IC:[/mm] Re(u) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
W, Im(u) = 2i}
>
> das stimmt doch immer noch oder?
Ja.
>
> irgendwie habe ich den faden verloren :(
>
> also:
>
> [mm]\bruch{1}{b^2}[/mm] - [mm]b^2[/mm] \ ist die lösung der realteils der
> Funktion [mm]f(z)=z^2?[/mm]
>
> der imganiärteil ist dann 2.
>
> damit gilt für Re(z)*Im(z)=1
> [mm](\bruch{1}{b^2}[/mm] - [mm]b^2)*2=1[/mm]
Wie schon erwähnt, die Bedingung muß für z gelten, nicht für f(z).
>
> oder?
>
> vielen lieben dank für eure Hilfe :)
> ich hoff ich hab das jetzt mal entschlüsselt :)
Aus der Bedingung aus Teil b) dieser Aufgabe ergibt sich:
[mm]\operatorname{Re}\left(z\right)=\bruch{1}{\operatorname{Im}\left(z\right)}[/mm]
Dieser Ausdruck ist aber nur definiert, wenn [mm]\operatorname{Im}\left(z\right) \ ...[/mm]
>
> Liebe Grüße
>
Gruss
MathePower
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$ [mm] \operatorname{Re}\left(z\right)=\bruch{1}{\operatorname{Im}\left(z\right)} [/mm] $
Dieser Ausdruck ist aber nur definiert, wenn $ [mm] \operatorname{Im}\left(z\right) [/mm] \ ... $
ungleich 0 ist?
aber der imaginärteil ist doch eh 2...
Vielen liebe Dank für Deine Hilfe :)
liebe grüße und einen schönen abend :)
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Hallo Alaizabel,
>
> [mm]\operatorname{Re}\left(z\right)=\bruch{1}{\operatorname{Im}\left(z\right)}[/mm]
>
> Dieser Ausdruck ist aber nur definiert, wenn
> [mm]\operatorname{Im}\left(z\right) \ ...[/mm]
>
> ungleich 0 ist?
>
> aber der imaginärteil ist doch eh 2...
Der Imaginärteil von f(z) ist 2, nicht jedoch der von z.
>
> Vielen liebe Dank für Deine Hilfe :)
> liebe grüße und einen schönen abend :)
Gruss
MathePower
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aha :)
also für alle b's ungleich 0?
aaaaber warum habe ich dann [mm] f(z)=z^2 [/mm] gegeben wenn es überhaupt nicht um diese Funktion geht?
danke und liebe grüße und gute nacht :)
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Hallo Alaizabel,
> aha :)
>
> also für alle b's ungleich 0?
Ja.
>
> aaaaber warum habe ich dann [mm]f(z)=z^2[/mm] gegeben wenn es
> überhaupt nicht um diese Funktion geht?
Nun, der angegebene Wertebereich der Funktion f(z) ist richtig.
Diesen Wertebereich kannst Du aber noch in Abhängigkeit von b angeben.
[mm]W=\left\{\ u \in \IC \left | \right \ \operatorname{Re}\left(u\right)=\bruch{1}{b^{2}}-b^{2}, \ b \in \IR\setminus\left\{0\right\} \wedge \operatorname{Im}\left(u\right)=2 \ \right\}[/mm]
>
> danke und liebe grüße und gute nacht :)
Gruss
MathePower
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Hallo nochmal :)
diese Aufgabe lässt mich nicht ganz in Ruhe...
also der angebene Wertebereich gilt jetzt für Aufgabenteil b) oder?
ich hab jetzt nochmal bei a) weiter gerechnet mit
[mm] 1+2bi-b^2=1
[/mm]
und das nun nach b aufgelöst und komme auf b=2i und b=0 aber das erinnert mich so an die Lösung von b) oder ist die Lösung zu b) doch die Lösung zu a)?
Entschuldigung für die Verwirrung :(
Vielen Dank für Eure Hilfe und ein schönes Wochenende wünsch ich Euch :)
liebe grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Sa 07.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwas kriegst du grässlich durcheinander.
du hast ne Funktion [mm] f(z)=z^2
[/mm]
die bildet jeden Punkt der komplexen Zahlenebene auf einen meist anderen) Punkt der Zahlenebene Ab.
Re(z)=1 ist nun eine Auswahl von Punkten der Zahlenebene: eine Gerade parallel zu imaginären Achse (=y Achse) durch x=1.
jetzt war die Frage, wohin all diese Punkte abgebildet werden, also die Punkte: (1,b) b beliebig.
die Antwort ist auf [mm] (1-b^2,2b) [/mm] ketzt kannst du für b irgendwelche Werte einsetzen und findes Punkte auf dem Bild.
oder du sagst: die y Koordinate der Punkte ist 2b, die x Koordinate [mm] 1-b^2
[/mm]
also y=2b, [mm] x=1-b^2
[/mm]
das ist ne Kurve. um sie in der dir gewohnten Form, Graph einer Funktion ziu sehen brauchst du y(x) oder x(y)
also schreib ich b=y/2 dann ist [mm] x=-\bruch{y^2}{4}+1
[/mm]
jetzt solltest du ne Parabel sehen Scheitel bei (1,0) nach links geöffnet.
Also die Menge aller Punkte auf der Geraden Re(z)=1 wird auf die Parabel abgebildet.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Alaizabel |
Danke Dir :)
ja ich hab so einiges durcheinander geschmissen....
Vielen Dank und liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Fr 30.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Befassen Sie sich mit dieser Funktion:
> [mm]f(z)=z^2[/mm]
>
> a) Geben Sie den Bereich der Funktion für Re(z)=1 an.
> b) Geben Sie den Bereich der Funktion für Im(z)*Re(z)=1
> an.
> Hallo :)
>
> Ich habe mir folgende Gedanken zu der Aufgabe gemacht.
> Zuerst zu a:
>
> [mm]z^2=(a^2+2abi-b^2)[/mm]
> der Realteil ist [mm]a^2-b^2[/mm] dieses muss nun gleich 1 sein.
> Aber was ist der Bereich in dem das gilt?
Hallo,
wenn du zu den Glücklichen gehörst, die in einem Bundesland leben, in dem die Kegelschnitte noch nicht aus dem Lehrplan gekickt wurden, dann weißt du, dass [mm] a^2-b^2=1 [/mm] eine Hyperbel beschreibt.
Aber das nur nebenbei.
Jede komplexe Zahl z lässt sich darstellen in der Form
[mm] z=r(\cos\phi [/mm] + [mm] i*\sin\phi)
[/mm]
Dann gilt [mm] z^2=r^2*(\cos{2\phi} [/mm] + [mm] i*\sin{2\phi})
[/mm]
Wenn der Realteil 1 sein soll, gilt also [mm] r^2*(\cos{2\phi})=1
[/mm]
Aus der Doppelwinkelformel für den Kosinus folgt
[mm] r^2*(cos^2\phi [/mm] - [mm] sin^2\phi)=1,
[/mm]
was schon wieder auf [mm] a^2-b^2=1 [/mm] führt.
> Es gilt wenn [mm]a=\wurzel{1-b^2}[/mm] aber stimmt das?
>
> b:
> Realteil mal Imaginärteil ergibt:
> [mm]2{a^2}bi-2a{b^2}i[/mm]
> das kann in meinen Augen gar nicht 1 werden, weil ich
> immer ein i habe. Oder?
Für 2ab kann man wieder schreiben [mm] 2*r*cos\phi [/mm] * [mm] r*\sin\phi,
[/mm]
und wegen [mm] sin(2\phi)=2* sin\phi [/mm] * cos [mm] \phi
[/mm]
gilt [mm] 2ab=r^2*sin(2\phi)
[/mm]
Gruß Abakus
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> Vielen Dank für einen Denkanstoss :)
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> Liebe Grüße und Danke für die Mithilfe
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