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| Aufgabe | E: [mm] \vec{x}=(-1,0,1) [/mm] + r(1,2,-1) + s(-2,-1,-1)
g: [mm] \vec{y}=(-4,3,2) [/mm] + r(-1,4,-5)
a) Berechnen Sie die Normalenform von E.
b) Zeigen Sie, dass g parallel zu E verläuft. |
a) Hierbei muss zunächst einmal der Richtungsvektor bestimmt werden:
[mm] \vec{b}X\vec{c}= [/mm] (1,2,-1)x(-2,-1,-1)=(-3,3,3)
Hier fehlt mir jedoch noch [mm] \vec{n}, [/mm] zur Berechnung der Normalenform. Kann mir jemand sagen, wie ich aus dem Richtungsvektor [mm] \vec{n} [/mm] bestimmen kann?
b) Orthogonalität besteht, wenn das Produkt beider Richtungsvektoren 0 ergibt (Satz des Thales):
(-1,4,-5)*(-3,3,3)=0 //somit kann Orthogonalität bestätigt werden.
Bei b bin ich mir sicher, dass das richtig sein muss. Bei a weiß ich allerdings nicht mehr weiter und es wäre nett, wenn jemand helfen könnte 
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Hallo jennynoobie,
> E: [mm]\vec{x}=(-1,0,1)[/mm] + r(1,2,-1) + s(-2,-1,-1)
> g: [mm]\vec{y}=(-4,3,2)[/mm] + r(-1,4,-5)
>
> a) Berechnen Sie die Normalenform von E.
> b) Zeigen Sie, dass g parallel zu E verläuft.
> a) Hierbei muss zunächst einmal der Richtungsvektor
> bestimmt werden:
>
> [mm]\vec{b}X\vec{c}=[/mm] (1,2,-1)x(-2,-1,-1)=(-3,3,3)
> Hier fehlt mir jedoch noch [mm]\vec{n},[/mm] zur Berechnung der
> Normalenform. Kann mir jemand sagen, wie ich aus dem
> Richtungsvektor [mm]\vec{n}[/mm] bestimmen kann?
[mm]\vec{n}=\vec{b}X\vec{c}[/mm] ist schon der "Richtungsvektor" der Ebene.
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> b) Orthogonalität besteht, wenn das Produkt beider
> Richtungsvektoren 0 ergibt (Satz des Thales):
>
> (-1,4,-5)*(-3,3,3)=0 //somit kann Orthogonalität bestätigt
> werden.
>
Hier in diesem Fall muß der Richtungsvektor der Geraden senkrecht auf dem Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] der Ebene sein.
Die Orthogonalität kannst Du hier in diesem Fall auch anders bestätigen.
Es muss nämlich
[mm]r(1,2,-1) + s(-2,-1,-1)=(-1,4,-5)[/mm]
lösbar sein.
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> Bei b bin ich mir sicher, dass das richtig sein muss. Bei a
> weiß ich allerdings nicht mehr weiter und es wäre nett,
> wenn jemand helfen könnte
Gruß
MathePower
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> [mm]\vec{n}=\vec{b}X\vec{c}[/mm] ist schon der "Richtungsvektor" der
> Ebene.
Aber ich soll ja die Normalenform angeben. Das ist durch die Angabe des Richtungsvektors nicht getan, oder?
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Hallo jennynoobie,
> > [mm]\vec{n}=\vec{b}X\vec{c}[/mm] ist schon der "Richtungsvektor" der
> > Ebene.
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> Aber ich soll ja die Normalenform angeben. Das ist durch
> die Angabe des Richtungsvektors nicht getan, oder?
Richtig. Dazu benötigst du noch einen Punkt P auf der Ebene.
Dann ist die Normalenform der Ebene gegeben durch
[mm]E:\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OP}\right) \* \overrightarrow{n}=0[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower und danke für die Antwort.
> Richtig. Dazu benötigst du noch einen Punkt P auf der
> Ebene.
>
> Dann ist die Normalenform der Ebene gegeben durch
>
> [mm]E:\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OP}\right) \* \overrightarrow{n}=0[/mm]
[mm] \vec{n} [/mm] habe ich bereits berechnet und [mm] \vec{x} [/mm] stellt die Ebene dar. Was ist nun unter [mm] \vec{OP} [/mm] zu verstehen?
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Hallo jenny_noobie,
> Hallo MathePower und danke für die Antwort.
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> > Richtig. Dazu benötigst du noch einen Punkt P auf der
> > Ebene.
> >
> > Dann ist die Normalenform der Ebene gegeben durch
> >
> > [mm]E:\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OP}\right) \* \overrightarrow{n}=0[/mm]
>
> [mm]\vec{n}[/mm] habe ich bereits berechnet und [mm]\vec{x}[/mm] stellt die
> Ebene dar. Was ist nun unter [mm]\vec{OP}[/mm] zu verstehen?
[mm]\overrightarrow{OP}[/mm] ist der Ortsvektor vom Ursprung zum Punkt P auf der Ebene.
Gruß
MathePower
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